Quadrato sommatoria
Esiste una formula chiusa per $(\sum_{k=1}^n x_i)^2$?
Risposte
perchè non $\sum_(i=1)^n (x_i\sum_(j=1)^n xj)$ ?
Beh... Praticamente è un quadrato di una somma, non è difficile constatare che:
[tex]$\left( \sum_{k=1}^n x_k\right)^2 =\sum_{k=1}^n x_k^2 +2\sum_{k=1}^{n-1} \sum_{h=k+1}^n x_kx_h$[/tex].
[tex]$\left( \sum_{k=1}^n x_k\right)^2 =\sum_{k=1}^n x_k^2 +2\sum_{k=1}^{n-1} \sum_{h=k+1}^n x_kx_h$[/tex].
In sostanza devo mostrare che se $P=\sum_{k=1}^n v_i\barv_i^t$ è la matrice di una proiezione allora P è idempotente cioè $PP=P$.
Però utilizzando questa formula chiusa non riesco a concludere...
Però utilizzando questa formula chiusa non riesco a concludere...
[mod="dissonance"]Sposto in Geometria e algebra lineare.[/mod]
Ma poi, non è per definizione che una matrice di proiezione è idempotente? Per quanto ne so io, si:
Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale e $P:V \to V$ una applicazione lineare. $P$ è un proiettore (o un operatore di proiezione) se $P(Px)=Px$ per ogni $x \in V$.
Esplica le definizioni altrimenti non ci capiremo. In ogni caso trovi informazioni qui, §1.8.3.
Ma poi, non è per definizione che una matrice di proiezione è idempotente? Per quanto ne so io, si:
Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale e $P:V \to V$ una applicazione lineare. $P$ è un proiettore (o un operatore di proiezione) se $P(Px)=Px$ per ogni $x \in V$.
Esplica le definizioni altrimenti non ci capiremo. In ogni caso trovi informazioni qui, §1.8.3.
Sul fatto che la proiezione sia idempotente siamo tutti d'accordo. Definendola però come $\sum_{k=1}^n v_k\barv_k^t$ come si può mostrare l'idempotenza?
Ma non è ben detto però... Io là leggo uno scalare, non una matrice. Poi guarda, questa frase non significa molto:
Comunque. Ho capito cosa vuoi fare: hai $v \in CC^n$ di modulo unitario (senza questa ipotesi la proposizione è falsa) e la matrice $[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n]$, e vuoi dimostrare che quest'ultima è idempotente. Come si fa? Si scrive
$[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] [[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] =bar{v}^Tv [[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n]=[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] .$ (ho usato l'ipotesi $bar{v}^Tv=1$)
Fine - se ho interpretato correttamente cosa vuoi fare. Se no, per favore spiegati meglio.
"thedarkhero":se poi dichiari che per te le proiezioni sono idempotenti. Cerca di esprimerti meglio perché non ci fai capire niente.
In sostanza devo mostrare che se $P=\sum_{k=1}^n v_i\barv_i^t$ è la matrice di una proiezione allora P è idempotente cioè $PP=P$.
Comunque. Ho capito cosa vuoi fare: hai $v \in CC^n$ di modulo unitario (senza questa ipotesi la proposizione è falsa) e la matrice $[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n]$, e vuoi dimostrare che quest'ultima è idempotente. Come si fa? Si scrive
$[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] [[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] =bar{v}^Tv [[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n]=[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] .$ (ho usato l'ipotesi $bar{v}^Tv=1$)
Fine - se ho interpretato correttamente cosa vuoi fare. Se no, per favore spiegati meglio.
"dissonance":
$[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] [[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] =bar{v}^Tv [[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n]=[[v_1], [vdots], [v_n]][v_1 ldots v_n] .$ (ho usato l'ipotesi $bar{v}^Tv=1$)
Come funziona il primo passaggio? Non mi è chiaro...
! -scusate, volevo riscrivere tutto sotto, versione "corretta" invece
avevo modificato questo stesso messaggio. _così l'ho cancellato poi tutto.
per cui -questo così, e sotto si legga. Pardòn
avevo modificato questo stesso messaggio. _così l'ho cancellato poi tutto.
per cui -questo così, e sotto si legga. Pardòn
Grazie, orazioster! Comunque c'è un piccolo errore (colpa mia che l'ho introdotto) questa dimostrazione va bene nel caso $v \in RR^n$, se $v$ è complesso quei vettori riga vanno anche coniugati.
Et voilà:
$PP=([[v_1], [vdots], [v_n]][\barv_1 ldots \barv_n])( [[v_1], [vdots], [v_n]][\bar v_1 ldots \barv_n]) =$
$=[[v_1], [vdots], [v_n]]([\barv_1 ldots \barv_n] [[v_1], [vdots], [v_n]])[\barv_1 ldots \barv_n]=$
$=[[v_1], [vdots], [v_n]](bar{v}^Tv)[\barv_1 ldots \barv_n]=$
$=(bar{v}^Tv) [[v_1], [vdots], [v_n]][\barv_1 ldots \barv_n]=(1)[[v_1], [vdots], [v_n]][\barv_1 ldots \barv_n] .$
$PP=([[v_1], [vdots], [v_n]][\barv_1 ldots \barv_n])( [[v_1], [vdots], [v_n]][\bar v_1 ldots \barv_n]) =$
$=[[v_1], [vdots], [v_n]]([\barv_1 ldots \barv_n] [[v_1], [vdots], [v_n]])[\barv_1 ldots \barv_n]=$
$=[[v_1], [vdots], [v_n]](bar{v}^Tv)[\barv_1 ldots \barv_n]=$
$=(bar{v}^Tv) [[v_1], [vdots], [v_n]][\barv_1 ldots \barv_n]=(1)[[v_1], [vdots], [v_n]][\barv_1 ldots \barv_n] .$
Ok! Grazie ancora!
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