Punto isolato

[thedarkhero]

Sia (X,T) spazio topologico, A sottoinsieme di X, p punto di X.
p si dice punto isolato per A se esiste un intorno U di p in X tale che $UnnA={p}$.

Qualcosa non mi torna.
Prendiamo il caso reale, A=[0,1], p=2.
Non esistono intorni U di p tali che $UnnA={p}$, eppure intuitivamente p è isolato.

[j18eos]

Specifica la topologia di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; se tu intendessi la topologia naturale basterebbe considerare un intervallo del tipo [tex](1;2+a)[/tex] ove [tex]$a\in(0;+\infty)$[/tex].

[Steven11]

In realtà io ho sempre sentito, ma magari sbaglio, parlare di punto isolato di un sottospazio.
Quindi deve essere [tex]$p \in A$[/tex] nelle ipotesi, e conseguentemente nel tuo esempio l'insieme diventa
[tex]$A=[0,1]\cup{2}$[/tex]

[j18eos]

@Steven: Secondo Tallini non necessariamente! Poi ci sono più opinioni in topologia che in filosofia.

[Steven11]

Beh in tal caso bisognerebbe cambiare la definizione data da thedarkhero, dal momento che $UnnA={p}$ non è mai vero se il punto non lo prendi in $A$.

Altrimenti si dovrebbe assumere che non avrebbe senso parlare di punto isolato da un insieme de anzitutto non vi appartiene, cosa che non mi sconvolgerebbe comunque.

[j18eos]

Senza che scrivo molto: condivido, e sono più dell'opinione che la definizione riportatanon sia intuitiva od addirittura errata!

[dissonance]

"j18eos":@Steven: Secondo Tallini non necessariamente!

Sei sicuro, j18eos? A me sembra davvero strano: come fai a dire: "p è punto isolato dello spazio topologico $Y$" se p non appartiene a $Y$?

[j18eos]

Mi spiego: io (e Tallini assieme alla docente di topologia) distinguiamo i sottoinsiemi di uno spazio topologico dai sottospazi topologici; con ciò premesso: io parlo di punto isolato per un dato sottoinsieme [tex]$T$[/tex] (non vuoto) di uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{A})$[/tex], ignorando la relativa struttura topologica indotta da [tex]$\mathcal{A}$[/tex] su [tex]$T$[/tex] in quanto inutile per la definizione del concetto in esame. A questo mi riferivo rispondendo a Steven; in quanto lui ha scritto di punti isolati per un sottospazio topologico di uno spazio topologico dato, non mi ero soffermato sul particolare mancante a cui ha provveduto Steven ad aggiungere!

Mi auguro di aver annullato e\o delucidato ogni dubbio o fraintendimento.