Punto improprio di una retta
Buona sera. Sapreste dirmi come fare a trovare il punto improprio della retta definita da:
$x+y-2=0$
$z-1=0$ ?
un punto nello spazio è P (1,2,0)....purtroppo non ho trovato appunti che mi dicano come fare a trovarlo.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Alex
$x+y-2=0$
$z-1=0$ ?
un punto nello spazio è P (1,2,0)....purtroppo non ho trovato appunti che mi dicano come fare a trovarlo.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Alex
Risposte
Risposta al volo.
O applichi direttamente la definizione:
O applichi direttamente la definizione:
- Introduci un sistema di coordinate omogenee mediante le
${(x=(X_1)/(X_0)), (y=(X_2)/(X_0)), (z=(X_3)/(X_0)):}$
riscrivi le equazioni della tua retta rispetto a queste coordinate e poi risolvi il sistema ${("equazioni della retta"), (X_0=0):}$[/list:u:3obkluvj]
Oppure ti ricordi che, se $v=(l, m, n)$ è un vettore di direzione della retta, allora $[0, l, m, n]$ è (un rappresentante del) suo punto improprio.
Innanzitutto, grazie Dissonance. Sei stato molto chiaro.
Io ho svolto così:
se $P(x_1,x_2,,0) $ è punto improprio, per appartenere alla retta $ ax+by+c=0$, deve soddisfare la condizione:
$ax_1+bx_2+c_x3=ax_1+bx_2$ in coordinate omogenee.
Avendo ogni retta un solo punto improprio del tipo (b,-a,0,) ( se non erro, correggimi in tal caso!!!), dovrei trovare qualcosa del tipo (1,-1,0,) o k(1,-1,0,) ma non ho ben capito come fare a ricavarlo dal mio svolgimento.
Nel tuo caso, x_0 chi sarebbe?
se ho qualcosa del tipo (1,5,7) -> P(1/7,5/7).... ma nel mio caso dovrei ritrovarmi con (1,2,0) <- (1,2) perchè diviso per 1???
grazie ancora per l'aiuto
p.s. errata corrige: l'equazione è x+y-2
z-1=0
Io ho svolto così:
se $P(x_1,x_2,,0) $ è punto improprio, per appartenere alla retta $ ax+by+c=0$, deve soddisfare la condizione:
$ax_1+bx_2+c_x3=ax_1+bx_2$ in coordinate omogenee.
Avendo ogni retta un solo punto improprio del tipo (b,-a,0,) ( se non erro, correggimi in tal caso!!!), dovrei trovare qualcosa del tipo (1,-1,0,) o k(1,-1,0,) ma non ho ben capito come fare a ricavarlo dal mio svolgimento.
Nel tuo caso, x_0 chi sarebbe?
se ho qualcosa del tipo (1,5,7) -> P(1/7,5/7).... ma nel mio caso dovrei ritrovarmi con (1,2,0) <- (1,2) perchè diviso per 1???
grazie ancora per l'aiuto
p.s. errata corrige: l'equazione è x+y-2
z-1=0
Stiamo dicendo la stessa cosa, ma in due lingue diverse, ecco perché non ci capiamo. Ti dico come conosco io la definizione di "punto improprio" nello spazio tridimensionale.
Supponiamo di essere nello spazio tridimensionale e di avere a nostra disposizione un sistema di coordinate cartesiane, $x, y, z$. Questo sistema di coordinate è in qualche modo insufficiente perché non accomuna in nessuna maniera rette e piani paralleli: in particolare due piani paralleli non si incontrano e questo rende macchinosa la costruzione di formule come quella di Grassmann. Allora introduciamo delle coordinate omogenee, per esempio mediante le tre equazioni che citavo nell'altro post:
${(x=(X_1)/(X_0)), (y=(X_2)/(X_0)), (z=(X_3)/(X_0)):}$
In questa maniera ogni punto è individuato non più da una e una sola terna $(x, y, z)$, ma da tutta una famiglia di quaterne $[X_0, X_1, X_2, X_3]$, che differiscono di un fattore di proporzionalità (per esempio $[1, 1, 1, 1]$ e $[2,2,2,2]$ sono lo stesso punto).
Osserviamo che mediante coordinate omogenee si possono individuare dei punti, quelli con $X_0=0$, che non corrispondono a nessuna terna $x,y,z$. Precisamente questi punti formano un piano, $H_0$ o piano improprio, di equazione $H_0:\ {X_0=0$. Chiameremo punto improprio di una retta l'intersezione di quest'ultima con $H_0$.
Quindi: per calcolare il punto improprio di una retta si passa dall'equazione in coordinate cartesiane $x, y, z$ a quella in coordinate omogenee $X_0, X_1, X_2, X_3$ (sostituendo $x$ con $X_1/X_0$, $y$ con $X_2/X_0$ ...) e poi si mette tutto a sistema con $H_0: {X_0=0$. Si otterrà una quaterna di coordinate omogenee, quindi definita a meno di un fattore di proporzionalità.
_______________________________________
Attenzione! Io ho costruito le coordinate omogenee "aggiungendo" la coordinata $X_0$ e mettendola all'inizio della quaterna $[X_0, X_1, X_2, X_3]$. Alcuni la mettono alla fine della quaterna, o la chiamano $X_4$. O ancora, se le coordinate cartesiane sono $x, y, z$, alcuni chiamano le coordinate omogenee $xi, eta, zeta, tau$... Forse è questo che ti fa confondere?
Supponiamo di essere nello spazio tridimensionale e di avere a nostra disposizione un sistema di coordinate cartesiane, $x, y, z$. Questo sistema di coordinate è in qualche modo insufficiente perché non accomuna in nessuna maniera rette e piani paralleli: in particolare due piani paralleli non si incontrano e questo rende macchinosa la costruzione di formule come quella di Grassmann. Allora introduciamo delle coordinate omogenee, per esempio mediante le tre equazioni che citavo nell'altro post:
${(x=(X_1)/(X_0)), (y=(X_2)/(X_0)), (z=(X_3)/(X_0)):}$
In questa maniera ogni punto è individuato non più da una e una sola terna $(x, y, z)$, ma da tutta una famiglia di quaterne $[X_0, X_1, X_2, X_3]$, che differiscono di un fattore di proporzionalità (per esempio $[1, 1, 1, 1]$ e $[2,2,2,2]$ sono lo stesso punto).
Osserviamo che mediante coordinate omogenee si possono individuare dei punti, quelli con $X_0=0$, che non corrispondono a nessuna terna $x,y,z$. Precisamente questi punti formano un piano, $H_0$ o piano improprio, di equazione $H_0:\ {X_0=0$. Chiameremo punto improprio di una retta l'intersezione di quest'ultima con $H_0$.
Quindi: per calcolare il punto improprio di una retta si passa dall'equazione in coordinate cartesiane $x, y, z$ a quella in coordinate omogenee $X_0, X_1, X_2, X_3$ (sostituendo $x$ con $X_1/X_0$, $y$ con $X_2/X_0$ ...) e poi si mette tutto a sistema con $H_0: {X_0=0$. Si otterrà una quaterna di coordinate omogenee, quindi definita a meno di un fattore di proporzionalità.
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Attenzione! Io ho costruito le coordinate omogenee "aggiungendo" la coordinata $X_0$ e mettendola all'inizio della quaterna $[X_0, X_1, X_2, X_3]$. Alcuni la mettono alla fine della quaterna, o la chiamano $X_4$. O ancora, se le coordinate cartesiane sono $x, y, z$, alcuni chiamano le coordinate omogenee $xi, eta, zeta, tau$... Forse è questo che ti fa confondere?
si, dissonance, la tua spiegazione è quanto mai corretta e a me nota. Ma ciò che non mi è chiaro è come ricavarmi le coordinate omogenee del punto, dal momento che la terza componente è 0...
Mah, senti, visto che non hai problemi sulla teoria forse il risultato che hai è sbagliato. Ho fatto rapidamente il conto e ho ottenuto $[X_0,X_1, X_2, X_3]=[0, 1, -1, 0]$. Mi pare sia lo stesso risultato che ottieni tu, no?
come risposta dà $[1,-1,0,0]$
"bad.alex":
come risposta dà $[1,-1,0,0]$
Entrambi corrispondono allo stesso punto improprio, nel tuo risultato è indicato come [x,y,z,t] mentre nel suo [t,x,y,z]
15 anni dopo finalmente si scopre l'inghippo
Ahahah 
[xdom="j18eos"]P.S.: passo e chiudo.[/xdom]
[xdom="j18eos"]P.S.: passo e chiudo.[/xdom]
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