Punto di accumulazione successione "troncata"

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se \(\{x_n\}\) è una successione in $X$, che è uno spazio $T_1$ (tale cioè che ogni punto è chiuso), e $x\in X$ è un suo punto di accumulazione, allora leggo che "ogni sottoinsieme finito di \(\{x_n\}\) è discreto" (e qui ci sono) e "quindi $x$ è punto di accumulazione di \(\{x_n:n>N\}\) per ogni $N\geq 0$"".
Non ne capisco proprio il perché... C'è qualcuno che lo capisce?
Grazie di cuore a tutti!!!

[j18eos]

Mi sembra che basti ragionare con la definizione di punto di accumulazione per un insieme.

[regim]

In uno spazio T1, ogni aperto che contenga $z$ deve contenere sempre infiniti punti della successione. Questo si dimostra, infatti se un punto $z$ fosse di accumulazione per un insieme A(che può essere la successione sopra) ma esistesse un aperto che contenga solo un numero finito di punti di A oltre $z$, questi punti costituirebbero un insieme chiuso per T1, allora il complemento sarebbe aperto, il quale intersecato l'aperto di prima sarebbe un aperto che contiene solo $z$, contraddizione.

[DavideGenova1]

Ah, ecco... Concentrarmi sulla topologia discreta indotta su un sottoinsieme finito della successione \(\{x_{i_1},...,x_{i_k}\}\subset\{x_n\}\) mi portava fuori strada...
Grazie, ragazzi, tante quanti sono i punti di $A$ contenuti in ogni aperto contenente \(z\in D(A)\)!!!