Punti stazionari di una curva
ragazzi, in base alla definizione ,se ho una curva in forma parametrica un punto è stazionario se la derivata prima della curva si annulla in tutte le componenti. non mi tirna dunque il caso della parabola. ..cioè la parabola dovrebbe avere equazione parametrica (x=t, y=t^2).la sua derivata prima è quindi (x=1, y=2t), che è diversa da 0 per ogni t.....cosa sbaglio?
Risposte
Secondo me non sbagli niente. Se abbiamo una curva $ phi :Irarr R^2 $ e una delle componenti è l'identità, ad esempio $ phi(t)= (t,phi _2(t)) $ , allora la curva (il suo sostegno) è il grafico cartesiano di una funzione. In questo caso si dice che la curva è rappresentata in forma cartesiana (la forma cartesiana è quindi una particolare forma parametrica in cui una componente è l'identità). E' il caso della parabola. Una curva $ C^1 $ in forma cartesiana è sempre regolare, cioè non ha punti stazionari proprio per il motivo che dici tu, una componente ha derivata identicamente uguale a 1.
si ma dall'analisi 1 sappiamo che la parabola ha un punto stazionario nell'origine, , cioè un minimo. ..è questo cio che nn mi torna. .
Ma sono infatti due concetti diversi, nel caso del minimo della parabola si annulla nell'origine la derivata di $ x^2 $ , cioè solo la seconda componente dell'equazione parametrica della curva. Va distinta la funzione $ y=x^2 $ (da $ Rrarr R $ ) dall'applicazione (la curva) da $ Irarr R^2 $ , con $ I $ intervallo di $ R $ , $ phi (t)= (t,phi _2(t)). $ Perché la curva sia 'regolare' si devono annullare contemporaneamente in qualche punto entrambe le derivate delle due componenti.
Io per la verità non ho mai sentito, nel corso di analisi 2 che ho fatto a suo tempo, chiamare 'stazionari' i punti di una curva dove si annullano tutte le derivate, parlavamo solo di curva 'regolare' o no, può infatti creare confusione tra curve e funzioni da R a R. Le curve sono applicazioni da un intervallo $ Isube R $ a $ R^n $, le puoi pensare come 'avvolgimento' di un filo nello spazio, così come una superficie da $ R^2 $ a $ R^n $ si può immaginare come un 'accartocciamento' di un foglio nello spazio.
Spero di non crearti confusione con queste immagini, ma a me aiutavano.
Io per la verità non ho mai sentito, nel corso di analisi 2 che ho fatto a suo tempo, chiamare 'stazionari' i punti di una curva dove si annullano tutte le derivate, parlavamo solo di curva 'regolare' o no, può infatti creare confusione tra curve e funzioni da R a R. Le curve sono applicazioni da un intervallo $ Isube R $ a $ R^n $, le puoi pensare come 'avvolgimento' di un filo nello spazio, così come una superficie da $ R^2 $ a $ R^n $ si può immaginare come un 'accartocciamento' di un foglio nello spazio.
Spero di non crearti confusione con queste immagini, ma a me aiutavano.
Errata corrige: "...perché la curva non sia regolare..."
grazie mille ira è tutto chiaro
Grazie a te
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