Punti propri ed impropri di una conica ...
cari ragazzi cosa si intende per punti propri o impropri di una conica ?
Risposte
Se non erro,i punti propri di una conica sono i punti che soddisfano la conica sul piano reale,impropri sul piano complesso. Ad esempio esistono ellissi che hanno un punto proprio,ma i restanti punti sono da definirsi impropri.
Well done , Mr !
NO! I punti impropri di una conica sono i punti “all'infinito”, cioè quei punti che appartengono alla varietà proiettiva ma non a quella affine. Data cioè una qualsiasi conica, si può rendere omogenea moltiplicando la curva per \(Z^2\) e facendo la sostituzione \( X = xZ, Y = yZ \). Presa quindi per esempio la conica \( x^2 + y^2 - 1 = 0 \), la corrispondente varietà proiettiva è data da \( X^2 + Y^2 - Z^2 = 0 \). I punti propri della conica sono allora i punti della varietà proiettivi per cui \( Z \neq 0 \) e per cui è quindi possibile invertire l'operazione di omogeneizzazione per ottenere un punto del piano affine, mentre un punto improprio è un punto della conica per cui \( Z = 0 \). Nell'esempio precedente, supponendo di lavorare con i numeri complessi, si ha che \( [1:i:0]\) e \([1,-i,0]\) sono punti impropri della conica.
Dunque , perdonami , non è possibile averne una definizione che non tiri in ballo la "geometria proiettiva" ?
Che io sappia non è possibile. Ma dove hai incontrato questi termini? Sei certo che non si faccia alcun riferimento a coordinate omogenee o al piano proiettivo?
In maniera più o meno intuitiva si può interpretare un punto improprio come le “direzioni limite” della curva all'infinito. Nel caso di una retta, il suo punto all'infinito è ad esempio uguale alla sua direzione (con lo zero come ultima coordinata). Nel caso delle coniche l'interpretazione può essere un po’ più complicata, ma se hai ad esempio l'iperbole \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0 \) i punti all'infinito sono dati dalle soluzioni di \( \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 0 \) cioè i punti \( [1:\pm\frac{b}{a}:0] \) che sono evidentemente le direzioni dei suoi asintoti. Nel caso della parabola \( Y - X^2 = 0 \) non ci sono asintoti, ma i limiti della derivata all'infinito tendono ad infinito e quindi la curva tende da entrambe le parti alla “verticale”, e infatti l'unico punto improprio della parabola è \( [1:0:0] \). Nel caso delle ellissi non si hanno punti impropri reali, ma solo complessi essendo l'ellissi limitata nei reali. Dal punto di vista del calcolo, è abbastanza semplice vedere che sono le soluzioni di \( aX^2 + 2bXY + cY^2 = 0 \) perché gli altri termini contengono tutti \( Z \) quando la conica è resa omogenea.
In maniera più o meno intuitiva si può interpretare un punto improprio come le “direzioni limite” della curva all'infinito. Nel caso di una retta, il suo punto all'infinito è ad esempio uguale alla sua direzione (con lo zero come ultima coordinata). Nel caso delle coniche l'interpretazione può essere un po’ più complicata, ma se hai ad esempio l'iperbole \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0 \) i punti all'infinito sono dati dalle soluzioni di \( \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 0 \) cioè i punti \( [1:\pm\frac{b}{a}:0] \) che sono evidentemente le direzioni dei suoi asintoti. Nel caso della parabola \( Y - X^2 = 0 \) non ci sono asintoti, ma i limiti della derivata all'infinito tendono ad infinito e quindi la curva tende da entrambe le parti alla “verticale”, e infatti l'unico punto improprio della parabola è \( [1:0:0] \). Nel caso delle ellissi non si hanno punti impropri reali, ma solo complessi essendo l'ellissi limitata nei reali. Dal punto di vista del calcolo, è abbastanza semplice vedere che sono le soluzioni di \( aX^2 + 2bXY + cY^2 = 0 \) perché gli altri termini contengono tutti \( Z \) quando la conica è resa omogenea.
A dirti la verità questa domanda è stata posta dalla mia professoressa di Geometria I nel corso degli esami ad un collega e tutti abbiamo avuto un sussulto !
In tal caso la cosa migliore da fare è forse chiedere alla professoressa per email maggiori informazioni su dove trovare questi argomenti. È possibile che li abbia spiegati in modo un po' diverso e che questa spiegazione sia collegata alla mia spiegazione intuitiva. La natura dei punti impropri di una conica permette infatti di stabilire la natura della conica nel piano affine reale (ellisse, parabola o iperbole). Qualsiasi ellisse ha infatti due punti impropri complessi, le iperboli hanno due punti impropri reali distinti e le parabole hanno un solo punto improprio (le soluzioni dell'equazione che ti ho scritto sotto sono coincidenti). Servono anche per altre cose. Chiedete alla professoressa o controllate meglio sugli appunti e sul libro di testo se riuscite a trovare qualcosa.
Infatti credo sia la soluzione più "ragionevole" ! 
"menale":
cari ragazzi cosa si intende per punti propri o impropri di una conica ?
L'utilità dello studio dei punti impropri di una conica consiste nella possibilità di caratterizzare le coniche a seconda della natura dei suoi due (sono sempre e soltanto 2) punti impropri (come già hanno fatto notare, i punti impropri si ottengono intersecando la conica con la retta impropria).
Precisamente:
Se i punti impropri sono complessi coniugati, allora la conica è un'ellisse (infatti la retta impropria sarà esterna alla conica);
Se i punti impropri son reale e coincidenti, allora la conica è una parabola (infatti in questo caso la retta impropria è tangente alla conica nel suo punto all'infinito);
Se, infine, i punti son reali e distinti, allora la conica è un'iperbole (in questo caso la retta impropria interseca propriamente la curva).
I due punti impropri di una circonferenza (sono complessi e coniugati, trattandosi di un caso particolare di ellisse
) (1,i,0) e (1,-i,0) sono detti punti ciclici e posso essere visti come due punti basi per tutte le circonferenze (in quanto tutte le circonferenze passano per questi due punti)ciao ciao
Gentilissimo PDN !
Per retta improprio cosa si intende ???
È la retta all'infinito, quella data, nel riferimento che ho precedentemente usato per il piano proiettivo, da \(Z = 0\).
Ah ! Thanks
"menale":
Gentilissimo PDN !
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