Punti propri e impropri
Ciao a tutti ragazzi non riesco completamente a capire il concetto di punto improprio.
Quello che sono riuscito a capire e che posso indicare un punto ad esempio di coordinate (2,3) in coordinate omogenee
come (2,3,1) e rappresenta un punto proprio mentre un punto di coordinate (2,3,0) rappresenta un punto improprio.
Altra cosa che ho capito è che ad esempio il punto (4,6,2) =(2,3,1) cioè individua lo stesso punto,
Purtroppo non riesco completamente a capire il perchè di tutto questo e graficamente cosa sta a significare questo punto improprio, dove si trova ecc...
Qualcuno è così gentile da spiegarmelo in termini più semplici possibili e farmi capire graficamente cosa devo immaginarmi?
Grazie tante in anticipo!
Quello che sono riuscito a capire e che posso indicare un punto ad esempio di coordinate (2,3) in coordinate omogenee
come (2,3,1) e rappresenta un punto proprio mentre un punto di coordinate (2,3,0) rappresenta un punto improprio.
Altra cosa che ho capito è che ad esempio il punto (4,6,2) =(2,3,1) cioè individua lo stesso punto,
Purtroppo non riesco completamente a capire il perchè di tutto questo e graficamente cosa sta a significare questo punto improprio, dove si trova ecc...
Qualcuno è così gentile da spiegarmelo in termini più semplici possibili e farmi capire graficamente cosa devo immaginarmi?
Grazie tante in anticipo!
Risposte
Allora pensa questo, i punti li scriviamo in questo modo:
$((1),(x),(y))$
I vettori, le direzioni, i punti impropri (son tutti circa sinonimi) li scriviamo in questo modo:
$((0),(x),(y))$
Vediamo perché questa cosa ci è utile:
1) Sappiamo distinguere punti e vettori, se ti ricordi in geometria affine i punti altro non erano che vettori fissati nell'origine, non avevi modo di distinguerli, qui invece puoi vederlo.
2) La differenza tra due punti origina un vettore, lo sapevamo già per lo spazio affine, ma ora vediamo che questo è coerente con la nostra notazione
3) Ogni retta è definita da una certa direzione e da un punto, quando la direzione è molto più grande del punto in pratica arrivi ad avere solo la direzione e questo è il punto all'infinito della retta. Due rette parallele condividono la stessa direzione e quindi arriveranno allo stesso punto all'infinito.
...
Se prendi ad esempio un piano proiettivo, questo altro non è che la superficie di una sfera, le rette sono i meridiani (come nei mappamondi) e tutte queste rette si incontrano nel polo nord che è il punto improprio del piano
$((1),(x),(y))$
I vettori, le direzioni, i punti impropri (son tutti circa sinonimi) li scriviamo in questo modo:
$((0),(x),(y))$
Vediamo perché questa cosa ci è utile:
1) Sappiamo distinguere punti e vettori, se ti ricordi in geometria affine i punti altro non erano che vettori fissati nell'origine, non avevi modo di distinguerli, qui invece puoi vederlo.
2) La differenza tra due punti origina un vettore, lo sapevamo già per lo spazio affine, ma ora vediamo che questo è coerente con la nostra notazione
3) Ogni retta è definita da una certa direzione e da un punto, quando la direzione è molto più grande del punto in pratica arrivi ad avere solo la direzione e questo è il punto all'infinito della retta. Due rette parallele condividono la stessa direzione e quindi arriveranno allo stesso punto all'infinito.
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Se prendi ad esempio un piano proiettivo, questo altro non è che la superficie di una sfera, le rette sono i meridiani (come nei mappamondi) e tutte queste rette si incontrano nel polo nord che è il punto improprio del piano
Grazie mille spiegazione ottima 
non riuscivo completamente ad immaginare...
non riuscivo completamente ad immaginare...
La mia docente di geometria mi ha fatto notare che associo al punto $(x,y)\in\mathbb R^2$ il punto $(x,y,1)\in\mathbb R^3$, e questo geometricamente corrisponde a "intersecare" il piano di equazione $(x,y,t)$ al variare di $t$ con il piano $z=1$...non so se ciò sia un caso...francamente non vedo molti legami col concetto di "punto improprio" e di "Intersezione all'infinito"...
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