Punti nello Spazio
Ciao a tutti,
sono uno studente del 2° anno di Scienze e Tecnologie dell'informazione, che, vedendosi chiudere il suo corso, ha visto anche rendersi i professori spesso irreperibili, e quindi, non avendo seguito il corso di Complementi di Matematica si trova a dover sostenere un esame senza alcun aiuto. Stavo cercando di capire la risoluzione di alcuni possibili esercizi ma non saprei come iniziare. Ad esempio:
Nello spazio si considerino i punti A(0, 3, 0) , B(1, 0, 1), C(0,-1,1), D(0, 3, 4)
a) Stabilire la posizione reciproca della retta per A;B con la retta per C;D.
b) Calcolare la distanza di A dal piano per B;C;D.
c) Calcolare l'area del triangolo di vertici B , C , D.
Come potrei iniziare per svolgere questo tipo di problema?
Vi ringrazio in anticipo e scusate per le mie difficoltà.
sono uno studente del 2° anno di Scienze e Tecnologie dell'informazione, che, vedendosi chiudere il suo corso, ha visto anche rendersi i professori spesso irreperibili, e quindi, non avendo seguito il corso di Complementi di Matematica si trova a dover sostenere un esame senza alcun aiuto. Stavo cercando di capire la risoluzione di alcuni possibili esercizi ma non saprei come iniziare. Ad esempio:
Nello spazio si considerino i punti A(0, 3, 0) , B(1, 0, 1), C(0,-1,1), D(0, 3, 4)
a) Stabilire la posizione reciproca della retta per A;B con la retta per C;D.
b) Calcolare la distanza di A dal piano per B;C;D.
c) Calcolare l'area del triangolo di vertici B , C , D.
Come potrei iniziare per svolgere questo tipo di problema?
Vi ringrazio in anticipo e scusate per le mie difficoltà.
Risposte
Non conoscendo il programma di geometria del 2° anno di scienze e tecnologie dell'informazione, vorrei sapere quali strumenti teorici ha spiegato il tuo professore per affrontare questi problemi?!
"Lorin":
Non conoscendo il programma di geometria del 2° anno di scienze e tecnologie dell'informazione, vorrei sapere quali strumenti teorici ha spiegato il tuo professore per affrontare questi problemi?!
mi sono perso un anno di scuola causa lavoro, per questo chiedevo aiuto dato che faccio fatica a capire le cose sui libri dato che il mio corso ha chiuso... (comunque non c'è Geometria ma Complementi di Matematica, che è più generica e sono solo 5 crediti)..
Si, ma hai un programma davanti a cui puoi attingere?! In modo che ci possiamo adeguare sul come approcciarci all'esercizio...
"Lorin":
Si, ma hai un programma davanti a cui puoi attingere?! In modo che ci possiamo adeguare sul come approcciarci all'esercizio...
si, eccoti il link:
http://ifile.it/e2hctmz/pCM-08.pdf
grazie mille!
il resto degli esercizi che assegna (ad esempio limiti taylor ecc) l'ho bene o male capito avendolo trattato anche al liceo scientifico, ma questo materiale mi è decisamente nuovo...
Trovo problemi a scaricarlo, fai prima a scrivermi gli argomenti di geometria che avete studiato.
"Lorin":
Trovo problemi a scaricarlo, fai prima a scrivermi gli argomenti di geometria che avete studiato.
Vettori nel piano e nello spazio. Operazioni fondamentali sui vettori. Prodotto scalare e vettoriale. Geometria analitica nello spazio. Spazi vettoriali. Vettori n-dimensionali:
lo spazio R^n; spazi vettoriali astratti. Prodotto scalare in R^n. Il concetto di linearita. Matrici e trasformazioni lineari. L'algebra delle matrici. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari. Determinante. Caratteristica (rango) di una matrice. Matrice inversa .
Sistemi lineari. Generalita; metodo di Cramer. Immagine e nucleo di una trasformazione
lineare da Rn a Rm. Sistemi generali; il teorema di Rouche-Capelli . Autovettori
ed autovalori. Diagonalizzazione. Matrici diagonalizzabili. Autovalori ed autovettori di una matrice.
Condizioni di diagonalizzabilita
questo è il programma di algebra lineare e geometria
Capito, quindi in generale il programma è simile a quello che si fa ad un normale corso di algebra lineare e geometria. Allora affrontiamo un punto alla volta:
1) Stabilire la posizione reciproca della retta per AB con la retta per CD:
Ricorda che gli enti geometrici nello spazio, come retta e piano, possono essere visti come sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale $EE^3$ (spazio ambiente). Nel nostro caso, dobbiamo individuare due rette, quella che passa per i punti A e B, e quella che passa per i punti C e D. Concentriamoci sulla prima retta, e andiamo ad individuarne la giacitura (molti chiamano anche direzione, o numeri direttori), che sarebbe il vettore $\vec u $ tale che $\vec u=AB$
1) Stabilire la posizione reciproca della retta per AB con la retta per CD:
Ricorda che gli enti geometrici nello spazio, come retta e piano, possono essere visti come sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale $EE^3$ (spazio ambiente). Nel nostro caso, dobbiamo individuare due rette, quella che passa per i punti A e B, e quella che passa per i punti C e D. Concentriamoci sulla prima retta, e andiamo ad individuarne la giacitura (molti chiamano anche direzione, o numeri direttori), che sarebbe il vettore $\vec u $ tale che $\vec u=AB$
"Lorin":
Capito, quindi in generale il programma è simile a quello che si fa ad un normale corso di algebra lineare e geometria. Allora affrontiamo un punto alla volta:
1) Stabilire la posizione reciproca della retta per AB con la retta per CD:
Ricorda che gli enti geometrici nello spazio, come retta e piano, possono essere visti come sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale $EE^3$ (spazio ambiente). Nel nostro caso, dobbiamo individuare due rette, quella che passa per i punti A e B, e quella che passa per i punti C e D. Concentriamoci sulla prima retta, e andiamo ad individuarne la giacitura (molti chiamano anche direzione, o numeri direttori), che sarebbe il vettore $\vec u $ tale che $\vec u=AB$
grazie mille per la risposta,
sarebbe:
A(0, 3, 0) , B(1, 0, 1)
$0*1 + 3*0 + 1*0 = 0$ giusto?
No no, fai attenzione questo qui è il prodotto scalare, che tra l'altro non puoi nemmeno fare perchè A e B sono punti non vettori. La giacitura di una retta si trova facendo la differenza delle componenti omologhe dei due punti, in pratica devi fare: $(1,0,1)-(0,3,0)$. Ma questo cosa ti può essere più chiara se: prendi un foglio disegna un piano cartesiano, poi disegna due vettori che partono dall'origine (cioè $OA$ e $OB$) e cerca di trovare la retta $AB$, dal disegno si capisce che devi fare le coordinate di B meno le coordinate di A
"Lorin":
No no, fai attenzione questo qui è il prodotto scalare, che tra l'altro non puoi nemmeno fare perchè A e B sono punti non vettori. La giacitura di una retta si trova facendo la differenza delle componenti omologhe dei due punti, in pratica devi fare: $(1,0,1)-(0,3,0)$. Ma questo cosa ti può essere più chiara se: prendi un foglio disegna un piano cartesiano, poi disegna due vettori che partono dall'origine (cioè $OA$ e $OB$) e cerca di trovare la retta $AB$, dal disegno si capisce che devi fare le coordinate di B meno le coordinate di A
ok grazie mille! quindi dato che devo fare la differenza, posso fare il vettore A più il suo opposto giusto?
cioè: $A + (-B)$
ovvero avrei:
$(1, 0, 1) + (0, - 3, 0)$
cioè: $AB = (1, -3, 1)$
è corretto?
poi una volta che faccio un analogo con CD?
Scusami per il disturbo ma da come avrai potuto notare sono davvero negato in matematica eheh... preferisco fare dei programmi in java ma non esercizi di matematica! XD
Si così va bene. E ora devi solo calcolare le equazioni delle due rette.
"Lorin":
Si così va bene. E ora devi solo calcolare le equazioni delle due rette.
una volta che trovo CD quindi esiste un'equazione che mi descrive una retta passante per tre punti?
per il secondo punto invece come posso procedere (cioè per trovare la distanza di A dal piano per B,C,D).
Grazie mille ancora e scusa il disturbo
No fai attenzione, la domanda dell'esercizio è "stabilire la posizione reciproca delle due rette". Per rispondere a questa domanda a mio avviso si devono trovare le equazioni delle due rette, cioè le equazioni dei due sottospazi. In modo che li puoi mettere a sistema e capire se magari esse si incontrano, se sono parallele, ortogonali ecc...
"Lorin":
No fai attenzione, la domanda dell'esercizio è "stabilire la posizione reciproca delle due rette". Per rispondere a questa domanda a mio avviso si devono trovare le equazioni delle due rette, cioè le equazioni dei due sottospazi. In modo che li puoi mettere a sistema e capire se magari esse si incontrano, se sono parallele, ortogonali ecc...
edit: niente, ho detto una cavolata.
Adesso provo a calcolarmi le equazioni. appena riesco a cavarne qualcosa lo scrivo.
"Lorin":
No fai attenzione, la domanda dell'esercizio è "stabilire la posizione reciproca delle due rette". Per rispondere a questa domanda a mio avviso si devono trovare le equazioni delle due rette, cioè le equazioni dei due sottospazi. In modo che li puoi mettere a sistema e capire se magari esse si incontrano, se sono parallele, ortogonali ecc...
Uhm penso che sia una cosa di questo genere:
$AB = (1, -3, 1) $
$CD = (0, - 4, - 3)$
P = (1, -3, 1) + t[(0,-4,-3) - (1, -3, 1)]
=
$ (1 - t, -3 - t, 1 - 4t)$
quindi, a sistema, avrei una cosa di questo genere:
$x = 1-t$
$ y = -3 - t$
$z = 1 - 4t$
è corretto secondo te?
Stai facendo un pò di confusione.
Tu hai due rette $AB$ e $CD$ distinte. Ora vuoi calcolare l'equazione di ogni retta. Supponiamo di voler calcolare l'equazione della retta $AB$, cioè della retta che passa per il punto A e per il punto B. Sappiamo che il sottospazio che rappresenta questa retta, che per semplicità indico con r, è:
$r=L(A,[\vec u])$ dove A è uno dei punti della retta e $u$, come abbiamo detto anche prima, è la giacitura della retta r. Ora per trovare l'equazione che rappresenta la retta, prendiamo un punto generico $P=(x,y,z)$ e imponiamo la condizione:
$P in r <=> AP in $ (cioè P appartiene alla retta r, se e solo se, il vettore AP appartiene alla giacitura della retta r). Questa condizione si traduce utilizzando la dipendenza lineare, in quanto dire che $AP in $ (sottosp.generato da u) vuol dire che AP dipende linearmente da $u$, cioè:
$rg ( ( x , y-3 , z ),( 1 , -3 , 1 ) )=1 <=> | ( x , y-3 ) ,( 1 , -3 ) |=0 , |(y-3 , z) , (-3 , 1) |=0 $
e facendo i calcoli di questi due determinanti ottieni:
$ { ( 3x+y-3=0 ),( y+3z-3=0):} $
che sono le equazioni della retta r. Ovviamente nello spazio euclideo $EE^3$, una retta è rappresentata da due equazioni, non ti spaventare!
Tu hai due rette $AB$ e $CD$ distinte. Ora vuoi calcolare l'equazione di ogni retta. Supponiamo di voler calcolare l'equazione della retta $AB$, cioè della retta che passa per il punto A e per il punto B. Sappiamo che il sottospazio che rappresenta questa retta, che per semplicità indico con r, è:
$r=L(A,[\vec u])$ dove A è uno dei punti della retta e $u$, come abbiamo detto anche prima, è la giacitura della retta r. Ora per trovare l'equazione che rappresenta la retta, prendiamo un punto generico $P=(x,y,z)$ e imponiamo la condizione:
$P in r <=> AP in $ (cioè P appartiene alla retta r, se e solo se, il vettore AP appartiene alla giacitura della retta r). Questa condizione si traduce utilizzando la dipendenza lineare, in quanto dire che $AP in $ (sottosp.generato da u) vuol dire che AP dipende linearmente da $u$, cioè:
$rg ( ( x , y-3 , z ),( 1 , -3 , 1 ) )=1 <=> | ( x , y-3 ) ,( 1 , -3 ) |=0 , |(y-3 , z) , (-3 , 1) |=0 $
e facendo i calcoli di questi due determinanti ottieni:
$ { ( 3x+y-3=0 ),( y+3z-3=0):} $
che sono le equazioni della retta r. Ovviamente nello spazio euclideo $EE^3$, una retta è rappresentata da due equazioni, non ti spaventare!
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