Punti linearmente dipendenti e linearmente indipendenti
Buonasera a tutti!
Sto studiando gli isomorfismi affini e ho dei dubbi sulle seguenti dimostrazioni stese da me. Scrivo il preambolo.
Sono assegnati: l'isomorfismo affine $f:A->A'$ dove $A$ e $A'$ sono spazi affini sui K-spazi vettoriale V e W, e l'isomorfismo vettoriale associato $phi:V->W$. Siano $P_0,...,P_rinA$ e consideriamo le immagini di tali punti: $f(P_0),...,f(P_r)inA$. Si considerino i sottospazi affini: $D=(P_0;)$ e $f(D)=(f(P_0);)$.
1) Se $P_1,...,P_rinA$ sono linearmente indipendenti allora $phi(vec{P_0P_1}),...,phi(vec{P_0P_r})$ sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione. Poiché risulta $dimD=dimf(D)$ (per un noto teorema) e $dimD=r$, segue che $dimf(D)=r$ perciò i vettori della tesi sono linearmente indipendenti. E' giusto?
2) Se $P_1,...,P_rinA$ sono linearmente dipendenti allora $f(P_0),...,f(P_r)$ sono linearmente dipendenti.
Dimostrazione. Non so come comportarmi. Logicamente credo che ci sia un errore nell'enunciato in quanto avrei scritto in analogia alla proposizione precedente (e viste fra l'altro le posizioni iniziali su $D$ e $f(D)$):
Sono enunciati equivalenti o no? Come posso provare quest'ultimo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Sto studiando gli isomorfismi affini e ho dei dubbi sulle seguenti dimostrazioni stese da me. Scrivo il preambolo.
Sono assegnati: l'isomorfismo affine $f:A->A'$ dove $A$ e $A'$ sono spazi affini sui K-spazi vettoriale V e W, e l'isomorfismo vettoriale associato $phi:V->W$. Siano $P_0,...,P_rinA$ e consideriamo le immagini di tali punti: $f(P_0),...,f(P_r)inA$. Si considerino i sottospazi affini: $D=(P_0;
1) Se $P_1,...,P_rinA$ sono linearmente indipendenti allora $phi(vec{P_0P_1}),...,phi(vec{P_0P_r})$ sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione. Poiché risulta $dimD=dimf(D)$ (per un noto teorema) e $dimD=r$, segue che $dimf(D)=r$ perciò i vettori della tesi sono linearmente indipendenti. E' giusto?
2) Se $P_1,...,P_rinA$ sono linearmente dipendenti allora $f(P_0),...,f(P_r)$ sono linearmente dipendenti.
Dimostrazione. Non so come comportarmi. Logicamente credo che ci sia un errore nell'enunciato in quanto avrei scritto in analogia alla proposizione precedente (e viste fra l'altro le posizioni iniziali su $D$ e $f(D)$):
Se $P_1,...,P_rinA$ sono linearmente dipendenti allora $phi(vec{P_0P_1},...,phi(vec{P_0P_r}))$ sono linearmente dipendenti
Sono enunciati equivalenti o no? Come posso provare quest'ultimo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Innanzitutto una nota terminologica: in uno spazio affine si parla di punti affinemente indipendenti e non di punti linearmente indipendenti.
O almeno io sono abituato così.
Detto questo, il fatto che i punti siano affinemente indipendenti ha un preciso significato. Te lo ricordi?
Se te lo ricordi, per dimostrare entrambi gli enunciati basta ricordare che essendo [tex]\varphi[/tex] un isomorfismo, esso trasforma vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti.
Comunque la tua prima dimostrazione va bene.
O almeno io sono abituato così.
Detto questo, il fatto che i punti siano affinemente indipendenti ha un preciso significato. Te lo ricordi?
Se te lo ricordi, per dimostrare entrambi gli enunciati basta ricordare che essendo [tex]\varphi[/tex] un isomorfismo, esso trasforma vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti.
Comunque la tua prima dimostrazione va bene.
E riguardo i vettori affinemente dipendenti? Come posso risolvere il mio dubbio?
aspetta aspetta vettori affinemente dipendenti non esistono (almeno non per quanto ho studiato!). Si parla di lineare indipendenza (dipendenza) di vettori mentre affine indipendenza dei punti.
Ora la proposizione 2) ti dice che se i punti sono affinemente dipendenti, pur trasformandoli mediante un isomorfismo affine essi (i punti) rimangono affinemente dipendenti.
Ora la proposizione 2) ti dice che se i punti sono affinemente dipendenti, pur trasformandoli mediante un isomorfismo affine essi (i punti) rimangono affinemente dipendenti.
Ripeto la nota terminologica:
- In uno spazio vettoriale ci sono i vettori. Ed eventualmente si parla di vettori linearmente indipendenti;
- in uno spazio affine ci sono i punti. Ed eventualmente si parla di punti affinemente indipendenti.
Il concetto di "punti linearmente indipendenti" o "vettori affinemente indipendenti" non esiste. O almeno io non ne ho mai sentito parlare.
Spero di essere stato chiaro.
Ripeto la domanda di prima:
Devi provare che $f(P_0),...,f(P_r)$ sono affinemente indipendenti. Che significa che sono affinemente indipendenti?
- In uno spazio vettoriale ci sono i vettori. Ed eventualmente si parla di vettori linearmente indipendenti;
- in uno spazio affine ci sono i punti. Ed eventualmente si parla di punti affinemente indipendenti.
Il concetto di "punti linearmente indipendenti" o "vettori affinemente indipendenti" non esiste. O almeno io non ne ho mai sentito parlare.
Spero di essere stato chiaro.
Ripeto la domanda di prima:
Devi provare che $f(P_0),...,f(P_r)$ sono affinemente indipendenti. Che significa che sono affinemente indipendenti?
Ho modificato la proposizione come segue, alla luce della definizione di $D$ e di $f(D)$:
"Se $vec{P_0P_1},...,vec{P_0P_r}$ sono linearmente dipendenti allora $phi(vec{P_0P_1}),...,phi(vec{P_0P_r})$ sono linearmente dipendenti.
Dimostrazione: data la lineare dipendenza di $vec{P_0P_1},...,vec{P_0P_r}$, segue che: $dim=t=t
Va bene?
"Se $vec{P_0P_1},...,vec{P_0P_r}$ sono linearmente dipendenti allora $phi(vec{P_0P_1}),...,phi(vec{P_0P_r})$ sono linearmente dipendenti.
Dimostrazione: data la lineare dipendenza di $vec{P_0P_1},...,vec{P_0P_r}$, segue che: $dim
Va bene?
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