Punti e Coordinate con Isomorfismo Coordinato

[Mikbro]

Buongiorno ragazzi! TRa pochi giorni dovrò sostenere l'esame di geometri e vorrei un piccolo aiuto da voi.
Fondamentale per l'orale è sapere definire punti e coordinate di un punto tramite l'isomorfismo coordinato. Però in tutta sincerità non ho ben capito come impostare questa spiegazione. Mi potreste aiutare a capire come fare ?

[killing_buddha]

Rimandalo, l'esame...

[anto_zoolander]

Perdonalo, in fondo è un simpaticone

Sai almeno cosa sia questo ‘isomorfismo delle coordinate’?

[killing_buddha]

E' il fatto che dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $k$ esiste un isomorfismo lineare
\[ \textstyle \varphi : V \overset{\simeq}\to k^G:= \bigoplus_{g\in G}k \] per un certo insieme $G$ (incidentalmente, tutti i $G$ con questa proprietà hanno lo stesso numero di elementi, e determinano delle basi di $V$); le "coordinate" di un vettore nella base $G$ $v\in V$ sono esattamente le componenti del vettore $\varphi(v)$.

[anto_zoolander]

Killing
[ot]se non sa cosa sia l’isomorfismo delle coordinate, figurati quella scrittura(che tra l’altro non ho compreso nemmeno io). Bastava fargli considerare l’applicazione $L(x_1,...,x_n)=sum_(k inI_n)x_kvec(e_k)$ che sicuramente istiga meno al suicidio

PS: mi definisci $k^G$? così tento di capire [/ot]

[killing_buddha]

Chi ti dice che non stia cercando di istigarlo al suicidio?

Ho scritto cos'è $k^G$, è la somma diretta di $|G|$ copie del campo.

[ciampax]

"killing_buddha":Chi ti dice che non stia cercando di istigarlo al suicidio?

Ho scritto cos'è $k^G$, è la somma diretta di $|G|$ copie del campo.

Con il nick che ha, è ovvio che voglia spingerlo al suicidio, anto_zoolander. Io, del resto, avrei ucciso direttamente l'utente (ma si sa, io sono un bastardo senza cuore).

[anto_zoolander]

Avevo preso $:=$ come def per tutto il mappazzone a sinistra
Scrivere $n$ anziché $|G|$ era troppo elementare. Ormai nei numeri non ci crede più nessuno

Siete violenti

[killing_buddha]

Cosa pensi che sia un numero? Sei solo abituato a pensare che esso sia una nozione più elementare, e disgiunta da, quella di insieme, e quindi sei portato a pensare che un numero sia un oggetto più semplice. In realtà la nozione primitiva è (come sempre) quella di insieme, perché un numero non è altro che un insieme che in più è bene ordinato.

Poi, trovo poco elegante scrivere \( \bigoplus_{i=1}^{|G|} k \) invece di \( \bigoplus_{g\in G}k \) perché nel primo caso ho scelto, arbitrariamente, un ordinamento per $G$, ovvero ho fissato una biiezione monotona \(G \to \{1<2<\dots

Siete violenti

Violenti sì, ma sempre SSC.

[anto_zoolander]

Ma va io scherzo, a me piace molto leggere come complichi le cose

[killing_buddha]

L'astrazione è, per definizione, una semplificazione.

[Mikbro]

"anto_zoolander":Ma va io scherzo, a me piace molto leggere come complichi le cose

Certo è che questo dovrebbe essere un sito serio! Se possibilmente mi spiegate ve ne sarei grato.

[anto_zoolander]

Un sito serio è un sito nel quale non si fanno battute? Se intendi questo allora dovrebbe essere un sito triste!
Tra l’altro una risposta, seppur molto formale, ti è arrivata.

Io invece prima di scrivere vorrei farti una domanda: parli di punti e coordinate di un punto, ma ti riferisci agli spazi affini o semplicemente agli spazi vettoriali?

[Mikbro]

"anto_zoolander":Un sito serio è un sito nel quale non si fanno battute? Se intendi questo allora dovrebbe essere un sito triste!
Tra l’altro una risposta, seppur molto formale, ti è arrivata.

Io invece prima di scrivere vorrei farti una domanda: parli di punti e coordinate di un punto, ma ti riferisci agli spazi affini o semplicemente agli spazi vettoriali?

affini

[killing_buddha]

"Mikbro":[quote="anto_zoolander"]Ma va io scherzo, a me piace molto leggere come complichi le cose

Certo è che questo dovrebbe essere un sito serio! Se possibilmente mi spiegate ve ne sarei grato.[/quote]
Il discorso è semplice, non sai una sega, o come ama dire chi si preoccupa di essere educato, "hai delle forti lacune", se a pochi giorni da un'esame ti risulta poco chiara una faccenda del genere. Tu vacci lo stesso all'esame, per carità, ma sia che vada male (non stupirtene) sia che vada bene (significa che chi ti valuta non vede la voragine della tua ignoranza o la reputa poco rilevante, che forse è pure peggio), non hai propriamente fatto centro
Studia di più, o fallo meglio.

[anto_zoolander]

È lungo, metto sotto spoiler

Prendiamo $(A,V)$ spazio affine con l’applicazione $a:AtimesA->V$ che gode delle due proprietà richieste.
Ora dare un riferimento significa dare un punto $O inA$ e dare una base $B={vec(e_1),...,vec(e_n)}$

prendendo l’applicazione $a’(P)=a(O,P),forall P inA$ si ottiene una applicazione $a’:A->V$ che gode della seguente proprietà
$• forall vec(v) inVexists!P inA: a(O,P)=vec(v)$ ovvero che $a’$ è una biiezione.

Quindi ora abbiamo che comunque preso $P inAexists!x_1,...,x_n inK:a’(P)=vec(v)=x_1vec(e_1)+...+x_nvec(e_n)$

Perfetto ora entra in gioco l’isomorfismo delle coordinate. Prendiamo quella base di $V$ e consideriamo $C:K^n->V$ definita come $C(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kvec(e_k)$

Basta mostrare che si tratta di un isomorfismo, infatti.

$• ((x_1,...,x_n) inKer(C)=>sum_(k=1)^(n)x_kvec(e_k)=vec(0))=>x_k=0,forallk=1,...,n$ pertanto $Ker(C)={vec(0)_(K^n)}$

$•$ comunque preso un $vec(v) inV$ esisteranno unici $x_1,...,x_n inK$ tali che $sum_(k=1)^(n)x_kvec(e_k)=vec(v)$ pertanto basta prendere la stringa $x=(x_1,...,x_n)$ per avere $f(x)=vec(v)$

Dunque abbiamo mostrato che $f$ è un isomorfismo tra questi due spazi.
dunque posto $C^(-1):V->K^n$ quell’applicazione che a un vettore associa la stringa delle sue componenti rispetto a $B$ si avrà

$C^(-1)circa’:A->V->K^n$

È una composizione di biiezioni e quindi una biiezione fra $A,K^n$ che lavora mandando un punto $P$ nelle coordinate del vettore $v$ che lo individua.

Quindi si può anche considerare, essendo una biiezione, l’applicazione $P:K^n->A$ tale che associ $P(x_1,...,x_n)=P$

[ciampax]

"killing_buddha":[quote="Mikbro"][quote="anto_zoolander"]Ma va io scherzo, a me piace molto leggere come complichi le cose

Certo è che questo dovrebbe essere un sito serio! Se possibilmente mi spiegate ve ne sarei grato.[/quote]
Il discorso è semplice, non sai una sega, o come ama dire chi si preoccupa di essere educato, "hai delle forti lacune"[/quote]

Posso aggiungerla alla mia firma? Ovviamente con il (cit. Killing_buddha)

[killing_buddha]

"ciampax":Posso aggiungerla alla mia firma? Ovviamente con il (cit. Killing_buddha)

Ecco come fa la mia fama a precedermi ovunque vada

[Mikbro]

"anto_zoolander":È lungo, metto sotto spoiler

Prendiamo $(A,V)$ spazio affine con l’applicazione $a:AtimesA->V$ che gode delle due proprietà richieste.
Ora dare un riferimento significa dare un punto $O inA$ e dare una base $B={vec(e_1),...,vec(e_n)}$

prendendo l’applicazione $a’(P)=a(O,P),forall P inA$ si ottiene una applicazione $a’:A->V$ che gode della seguente proprietà
$• forall vec(v) inVexists!P inA: a(O,P)=vec(v)$ ovvero che $a’$ è una biiezione.

Quindi ora abbiamo che comunque preso $P inAexists!x_1,...,x_n inK:a’(P)=vec(v)=x_1vec(e_1)+...+x_nvec(e_n)$

Perfetto ora entra in gioco l’isomorfismo delle coordinate. Prendiamo quella base di $V$ e consideriamo $C:K^n->V$ definita come $C(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kvec(e_k)$

Basta mostrare che si tratta di un isomorfismo, infatti.

$• ((x_1,...,x_n) inKer(C)=>sum_(k=1)^(n)x_kvec(e_k)=vec(0))=>x_k=0,forallk=1,...,n$ pertanto $Ker(C)={vec(0)_(K^n)}$

$•$ comunque preso un $vec(v) inV$ esisteranno unici $x_1,...,x_n inK$ tali che $sum_(k=1)^(n)x_kvec(e_k)=vec(v)$ pertanto basta prendere la stringa $x=(x_1,...,x_n)$ per avere $f(x)=vec(v)$

Dunque abbiamo mostrato che $f$ è un isomorfismo tra questi due spazi.
dunque posto $C^(-1):V->K^n$ quell’applicazione che a un vettore associa la stringa delle sue componenti rispetto a $B$ si avrà

$C^(-1)circa’:A->V->K^n$

È una composizione di biiezioni e quindi una biiezione fra $A,K^n$ che lavora mandando un punto $P$ nelle coordinate del vettore $v$ che lo individua.

Quindi si può anche considerare, essendo una biiezione, l’applicazione $P:K^n->A$ tale che associ $P(x_1,...,x_n)=P$

Grazie