Punti di una dimostrazione che non mi tornano
Buongiorno,
avevo aperto una domanda simile, il problema è che mi piacerebbe affrontare il problema inverso e quindi un poco diverso e che appesantirebbe molto la discussione inutilmente. In realtà paradossalmente l'avevo dimostrata così anche io, poi ho guardato sul libro e a conferma era esattamente identica. Ero tutto contento, vado a dormire e mi si insinua un dubbio che ritrovo anche oggi:
Devo in sostanza dimostrare che se f: V->W è iniettiva => l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W.
Copio dal libro..
Per ipotesi $f$ è iniettiva e ${a_1,...,a_k}$ [*1] un insieme libero di $V$ Dobbiamo verificare che $f(a_1),..,f(a_n)$ sono linearmente indipendenti.
Sia $O_w=λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ [*2] in sostanza vogliamo dimostrare che $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
SI giunge per linearità infatti alla: $O_w=f(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)$ e poiché iniettiva si ha $(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)=0$. Per ipotesi ${a_1,...,a_k}$[*1] sono linearmente indipendenti e quindi $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
[*1]. Qui nasce il primo dubbio, non dovrei dimostrare SE iniettiva ALLORA ${a_1,...,a_k}$ e $f(a_1),..,f(a_n)$ sono insieme libero? Invece usa ${a_1,...,a_k}$ già come ipotesi! Questo dubbio è avvalorato anche dal fatto che quando dimostra la proposizione inversa prende l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W (entrambe come ipotesi) => f è iniettiva
[*2] Il secondo dubbio che mi è poco chiaro è questo passaggio, se io pongo $λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ uguale allo zero vettoriale e dimostro che i lambda dono uguali a zero, va bene, però nessuno vieta di obiettare che gli $f(a_i)$ siano tutti uguali a zero e quindi quella di tutti i lambda uguali a zero non è mica l'unica possibile combinazione lineare che mi crea lo zero vettoriale e quindi cade la lineare indipendenza per definizione!
Dimostrare che i lambda siano tutti zero equivale solo a dire che esiste un caso in cui avendo lambda zero e f(a) non zero avrò una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti, ma non posso affermare che lo siano sempre.
Grazie
avevo aperto una domanda simile, il problema è che mi piacerebbe affrontare il problema inverso e quindi un poco diverso e che appesantirebbe molto la discussione inutilmente. In realtà paradossalmente l'avevo dimostrata così anche io, poi ho guardato sul libro e a conferma era esattamente identica. Ero tutto contento, vado a dormire e mi si insinua un dubbio che ritrovo anche oggi:
Devo in sostanza dimostrare che se f: V->W è iniettiva => l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W.
Copio dal libro..
Per ipotesi $f$ è iniettiva e ${a_1,...,a_k}$ [*1] un insieme libero di $V$ Dobbiamo verificare che $f(a_1),..,f(a_n)$ sono linearmente indipendenti.
Sia $O_w=λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ [*2] in sostanza vogliamo dimostrare che $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
SI giunge per linearità infatti alla: $O_w=f(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)$ e poiché iniettiva si ha $(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)=0$. Per ipotesi ${a_1,...,a_k}$[*1] sono linearmente indipendenti e quindi $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
[*1]. Qui nasce il primo dubbio, non dovrei dimostrare SE iniettiva ALLORA ${a_1,...,a_k}$ e $f(a_1),..,f(a_n)$ sono insieme libero? Invece usa ${a_1,...,a_k}$ già come ipotesi! Questo dubbio è avvalorato anche dal fatto che quando dimostra la proposizione inversa prende l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W (entrambe come ipotesi) => f è iniettiva
[*2] Il secondo dubbio che mi è poco chiaro è questo passaggio, se io pongo $λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ uguale allo zero vettoriale e dimostro che i lambda dono uguali a zero, va bene, però nessuno vieta di obiettare che gli $f(a_i)$ siano tutti uguali a zero e quindi quella di tutti i lambda uguali a zero non è mica l'unica possibile combinazione lineare che mi crea lo zero vettoriale e quindi cade la lineare indipendenza per definizione!
Dimostrare che i lambda siano tutti zero equivale solo a dire che esiste un caso in cui avendo lambda zero e f(a) non zero avrò una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti, ma non posso affermare che lo siano sempre.
Grazie
Risposte
\( f : V/\ker f \to W\) è sempre iniettiva.
"killing_buddha":
Ogni persona ha una definizione davvero elementare che fa fatica a entrargli in testa (per me è capire la differenza tra "condizione necessaria" e "condizione sufficiente")
Anch'io avevo questa noia, poi l'ho risolta così:
$A rArr B$
$1)$ $A$ è sufficiente per $B$
$2)$ $B$ è necessario per $A$
Interpretando l'implicazione a livello insiemistico si può dire che
$A subseteq B$
per cui
$1)$ ogni elemento di $A$ sta anche in $B$; ovvero è sufficiente che stia un $A$ affinché stia anche in $B$.
$2)$ un elemento che non sta in $B$ non può stare in $A$; ovvero affinché stia in $A$ è necessario che stia anche in $B$.
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