Punti di una dimostrazione che non mi tornano
Buongiorno,
avevo aperto una domanda simile, il problema è che mi piacerebbe affrontare il problema inverso e quindi un poco diverso e che appesantirebbe molto la discussione inutilmente. In realtà paradossalmente l'avevo dimostrata così anche io, poi ho guardato sul libro e a conferma era esattamente identica. Ero tutto contento, vado a dormire e mi si insinua un dubbio che ritrovo anche oggi:
Devo in sostanza dimostrare che se f: V->W è iniettiva => l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W.
Copio dal libro..
Per ipotesi $f$ è iniettiva e ${a_1,...,a_k}$ [*1] un insieme libero di $V$ Dobbiamo verificare che $f(a_1),..,f(a_n)$ sono linearmente indipendenti.
Sia $O_w=λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ [*2] in sostanza vogliamo dimostrare che $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
SI giunge per linearità infatti alla: $O_w=f(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)$ e poiché iniettiva si ha $(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)=0$. Per ipotesi ${a_1,...,a_k}$[*1] sono linearmente indipendenti e quindi $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
[*1]. Qui nasce il primo dubbio, non dovrei dimostrare SE iniettiva ALLORA ${a_1,...,a_k}$ e $f(a_1),..,f(a_n)$ sono insieme libero? Invece usa ${a_1,...,a_k}$ già come ipotesi! Questo dubbio è avvalorato anche dal fatto che quando dimostra la proposizione inversa prende l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W (entrambe come ipotesi) => f è iniettiva
[*2] Il secondo dubbio che mi è poco chiaro è questo passaggio, se io pongo $λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ uguale allo zero vettoriale e dimostro che i lambda dono uguali a zero, va bene, però nessuno vieta di obiettare che gli $f(a_i)$ siano tutti uguali a zero e quindi quella di tutti i lambda uguali a zero non è mica l'unica possibile combinazione lineare che mi crea lo zero vettoriale e quindi cade la lineare indipendenza per definizione!
Dimostrare che i lambda siano tutti zero equivale solo a dire che esiste un caso in cui avendo lambda zero e f(a) non zero avrò una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti, ma non posso affermare che lo siano sempre.
Grazie
avevo aperto una domanda simile, il problema è che mi piacerebbe affrontare il problema inverso e quindi un poco diverso e che appesantirebbe molto la discussione inutilmente. In realtà paradossalmente l'avevo dimostrata così anche io, poi ho guardato sul libro e a conferma era esattamente identica. Ero tutto contento, vado a dormire e mi si insinua un dubbio che ritrovo anche oggi:
Devo in sostanza dimostrare che se f: V->W è iniettiva => l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W.
Copio dal libro..
Per ipotesi $f$ è iniettiva e ${a_1,...,a_k}$ [*1] un insieme libero di $V$ Dobbiamo verificare che $f(a_1),..,f(a_n)$ sono linearmente indipendenti.
Sia $O_w=λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ [*2] in sostanza vogliamo dimostrare che $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
SI giunge per linearità infatti alla: $O_w=f(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)$ e poiché iniettiva si ha $(λ_1 a_1+λ_2 a_2+...+λ_k a_k)=0$. Per ipotesi ${a_1,...,a_k}$[*1] sono linearmente indipendenti e quindi $λ_1=λ_2=...=λ_k=0$.
[*1]. Qui nasce il primo dubbio, non dovrei dimostrare SE iniettiva ALLORA ${a_1,...,a_k}$ e $f(a_1),..,f(a_n)$ sono insieme libero? Invece usa ${a_1,...,a_k}$ già come ipotesi! Questo dubbio è avvalorato anche dal fatto che quando dimostra la proposizione inversa prende l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W (entrambe come ipotesi) => f è iniettiva
[*2] Il secondo dubbio che mi è poco chiaro è questo passaggio, se io pongo $λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ uguale allo zero vettoriale e dimostro che i lambda dono uguali a zero, va bene, però nessuno vieta di obiettare che gli $f(a_i)$ siano tutti uguali a zero e quindi quella di tutti i lambda uguali a zero non è mica l'unica possibile combinazione lineare che mi crea lo zero vettoriale e quindi cade la lineare indipendenza per definizione!
Dimostrare che i lambda siano tutti zero equivale solo a dire che esiste un caso in cui avendo lambda zero e f(a) non zero avrò una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti, ma non posso affermare che lo siano sempre.
Grazie
Risposte
Se $f$ è iniettiva, \(0= \sum \lambda_i f(a_i) = f\left(\sum \lambda_i a_i\right)\) implica che \(\sum \lambda_i a_i\) sia zero. A questo punto però tutti i $\lambda_i$ sono zero perché gli $a_i$ erano indipendenti.
Uhm aspetta, quel punto mi è chiaro, il [*2] dubbio è da un'altra parte... non mi è chiaro perché porre $O_w=λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ e trovare i lambda uguali a zero mi garantisca l'indipendenza lineare degli f(a), io potrei avere gli f(a) tutti zero, nessuno lo vieta, e quella $O_w=λ_1 f(a_1)+λ_2 f(a_2)+...+λ_k f(a_k)$ sommatoria essere zero per quel motivo. E' evidente che un insieme di f(a) tutti zero non sia linearmente indipendente, la dimostrazione non vieta questo caso, dice solo che i lambda sono sempre zero, sì ma il sistema trovato non è indipendente!
io potrei avere gli f(a) tutti zero, nessuno lo vieta
$f$ è iniettiva.
E' vero!!! Lo zero è un caso un po' particolare non funzionerebbe 
, però ahimè nessuno mi vieta (ovviamente lo dico sapendo che qualcosa lo vieta ma non riesco a capire cosa) che un $f(a_k)$ sia combinazione degli altri $f(a_i)$ i lambda mi mandano a zero quella combinazione ma mi trovi con un insieme ${f(a_1),...,f(a_n)}$ non linearmente indipendente
Potrei chiederti delucidazioni anche sul primo dubbio che scrivevo in apertura?
[*1]. Qui nasce il primo dubbio, non dovrei dimostrare SE iniettiva ALLORA ${a_1,...,a_k}$ e $f(a_1),..,f(a_n)$ sono insieme libero? Invece usa ${a_1,...,a_k}$ già come ipotesi! Questo dubbio è avvalorato anche dal fatto che quando dimostra la proposizione inversa prende l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W (entrambe come ipotesi) => f è iniettiva. Ho segnato con [*1] i passi dubbi nella dimostrazione
Grazie mille k.buddha
, però ahimè nessuno mi vieta (ovviamente lo dico sapendo che qualcosa lo vieta ma non riesco a capire cosa) che un $f(a_k)$ sia combinazione degli altri $f(a_i)$ i lambda mi mandano a zero quella combinazione ma mi trovi con un insieme ${f(a_1),...,f(a_n)}$ non linearmente indipendentePotrei chiederti delucidazioni anche sul primo dubbio che scrivevo in apertura?
[*1]. Qui nasce il primo dubbio, non dovrei dimostrare SE iniettiva ALLORA ${a_1,...,a_k}$ e $f(a_1),..,f(a_n)$ sono insieme libero? Invece usa ${a_1,...,a_k}$ già come ipotesi! Questo dubbio è avvalorato anche dal fatto che quando dimostra la proposizione inversa prende l'immagine di ogni insieme libero è un insieme libero di W (entrambe come ipotesi) => f è iniettiva. Ho segnato con [*1] i passi dubbi nella dimostrazione
Grazie mille k.buddha
Una sigma può incutere panico 
La cosa sta nel capire dove agiscano le ipotesi.
Prendiamo $f:V->W$ e supponiamo che sia iniettiva, ovvero che $forallv,w inV:f(v)=f(w)=>v=w$
Sia ${v_1,..,v_k}$ un sistema di vettori linearmente indipendente.
Dobbiamo mostrare che lo sia anche ${f(v_1),...,f(v_k)}$
Prendiamo $lambda_1,...,lambda_k$ scalari e mostriamo che se $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ implichi che tutti i $lambda_j$ sono nulli per ogni $j=1,...,k$
$0_W=lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=f(lambda_1v_1+...+lamda_kv_k)$
Qui abbiamo usato la ipotesi che $f$ sia una applicazione lineare.
Inoltre sappiamo che $0_W=f(0_V)$
Quindi $f(lambda_1v_1+...+lamda_kv_k)=f(0_V)$
Bene siamo arrivati fino a qui, adesso come concludiamo? Usiamo la ipotesi di iniettività che ci porta a dire che
$flambda_1v_1+...+lamda_kv_k=0_V$
Essendo $v_1,..,v_k$ indipendenti gli scalari $lambda_1,...,lambda_k$ devono essere nulli.
Pertanto abbiamo dimostrato che $f(v_1),...,f(v_k)$ sono linearmente indipendenti.
Ps: quello che detto in maniera prolissa è quanto ha detto in maniera sintetica Killing.
Ti invito a cogliere quali punti ho esteso!
La cosa sta nel capire dove agiscano le ipotesi.
Prendiamo $f:V->W$ e supponiamo che sia iniettiva, ovvero che $forallv,w inV:f(v)=f(w)=>v=w$
Sia ${v_1,..,v_k}$ un sistema di vettori linearmente indipendente.
Dobbiamo mostrare che lo sia anche ${f(v_1),...,f(v_k)}$
Prendiamo $lambda_1,...,lambda_k$ scalari e mostriamo che se $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ implichi che tutti i $lambda_j$ sono nulli per ogni $j=1,...,k$
$0_W=lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=f(lambda_1v_1+...+lamda_kv_k)$
Qui abbiamo usato la ipotesi che $f$ sia una applicazione lineare.
Inoltre sappiamo che $0_W=f(0_V)$
Quindi $f(lambda_1v_1+...+lamda_kv_k)=f(0_V)$
Bene siamo arrivati fino a qui, adesso come concludiamo? Usiamo la ipotesi di iniettività che ci porta a dire che
$flambda_1v_1+...+lamda_kv_k=0_V$
Essendo $v_1,..,v_k$ indipendenti gli scalari $lambda_1,...,lambda_k$ devono essere nulli.
Pertanto abbiamo dimostrato che $f(v_1),...,f(v_k)$ sono linearmente indipendenti.
Ps: quello che detto in maniera prolissa è quanto ha detto in maniera sintetica Killing.
Ti invito a cogliere quali punti ho esteso!
Uhm allora forse prima di iniziare a capire la dimostrazione dovrei cercare di capire perché quella sia una ipotesi
Nel senso quando dimostro la proposizione inversa, come nell'altro post: {v 1 ,..,v k } libero lo considero come una ipotesi, infatti dimostro:
SE l'immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W ALLORA f: V->W è iniettiva
Ora devo in sostanza dimostrare che SE f: V->W è iniettiva ALLORA l'immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W
e invece no,
SE f: V->W è iniettiva e l'immagine di ogni insieme libero di V ALLORA è un insieme libero di W
Mi sembra giochi un duplice lavoro di ipotesi in andata e in ritorno della proposizione, si può fare? Non ho grandissime basi di logica ma mi pareva che nel SE e SOLO SE quelle che erano ipotesi divengono tesi e viceversa.
Io TI e vi ringrazio a tutti qui sul forum. Siete davvero gentilissimi
Nel senso quando dimostro la proposizione inversa, come nell'altro post: {v 1 ,..,v k } libero lo considero come una ipotesi, infatti dimostro:
SE l'immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W ALLORA f: V->W è iniettiva
Ora devo in sostanza dimostrare che SE f: V->W è iniettiva ALLORA l'immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W
e invece no,
SE f: V->W è iniettiva e l'immagine di ogni insieme libero di V ALLORA è un insieme libero di W
Mi sembra giochi un duplice lavoro di ipotesi in andata e in ritorno della proposizione, si può fare? Non ho grandissime basi di logica ma mi pareva che nel SE e SOLO SE quelle che erano ipotesi divengono tesi e viceversa.
Io TI e vi ringrazio a tutti qui sul forum. Siete davvero gentilissimi
È aiuto reciproco: chi ‘spiega’ migliora, chi ‘legge’ impara.
Di fatto tu mostri che se $f$ è iniettiva, dall’essere un sistema indipendente mostri che anche la sua immagine dona un sistema indipendente.
Di fatto tu mostri che se $f$ è iniettiva, dall’essere un sistema indipendente mostri che anche la sua immagine dona un sistema indipendente.
Quindi riscrivendo le proposizioni sarebbero:
SE l'immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W => f: V->W è iniettiva
SE ho f: V->W iniettiva e {v 1 ,..,v k } insieme libero di V => l'immagine è un insieme libero di W
In sostanza utilizzo in entrambe le ipotesi che V abbia un insieme libero {v 1 ,..,v k }?
Ero proprio convinto, sbagliando, che non potessi usare la medesima ipotesi sia nell'implicazione sia per dimostrare l'implicazione inversa, ma che ogni ipotesi dovesse diventare tesi e viceversa
SE l'immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W => f: V->W è iniettiva
SE ho f: V->W iniettiva e {v 1 ,..,v k } insieme libero di V => l'immagine è un insieme libero di W
In sostanza utilizzo in entrambe le ipotesi che V abbia un insieme libero {v 1 ,..,v k }?
Ero proprio convinto, sbagliando, che non potessi usare la medesima ipotesi sia nell'implicazione sia per dimostrare l'implicazione inversa, ma che ogni ipotesi dovesse diventare tesi e viceversa
PS:
Ci ho ragionato un po' su ma nulla.... oltre la parte nel post qui sopra quel che non mi torna è questo:
"Prendiamo $lambda_1,...,lambda_k$ scalari e mostriamo che se $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ implichi che tutti i $lambda_j$ sono nulli per ogni $j=1,...,k$"
io vado a dimostrare che SE quella combinazione lineare $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ allora dopo vari passaggi arrivo a dire che i lambda kappa sono tutti zero.
Il problema che mi pongo è questo: è sufficiente che quella combinazione sia zero perché i $lambda_j$ siano 0 e lo dimostro, però non è necessario quello: ad esempio potrei avere gli $(fv_k)$ linearmente dipendenti e tutti i lambda 0 (che ho dimostrato esserlo).
Che i lambda siano zero non impone che gli $(fv_k)$ siano per forza indipendenti.
Ci ho ragionato un po' su ma nulla.... oltre la parte nel post qui sopra quel che non mi torna è questo:
"Prendiamo $lambda_1,...,lambda_k$ scalari e mostriamo che se $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ implichi che tutti i $lambda_j$ sono nulli per ogni $j=1,...,k$"
io vado a dimostrare che SE quella combinazione lineare $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ allora dopo vari passaggi arrivo a dire che i lambda kappa sono tutti zero.
Il problema che mi pongo è questo: è sufficiente che quella combinazione sia zero perché i $lambda_j$ siano 0 e lo dimostro, però non è necessario quello: ad esempio potrei avere gli $(fv_k)$ linearmente dipendenti e tutti i lambda 0 (che ho dimostrato esserlo).
Che i lambda siano zero non impone che gli $(fv_k)$ siano per forza indipendenti.
Tre cose:
1. per regolamento non è possibile postare due messaggi consecutivi in meno di 24h, limitati magari a modificare quello precedente scrivendo ‘EDIT’ in neretto, verrà considerato
2. di quale corso di laurea fai parte?
3. che libro di algebra lineare usi?
1. per regolamento non è possibile postare due messaggi consecutivi in meno di 24h, limitati magari a modificare quello precedente scrivendo ‘EDIT’ in neretto, verrà considerato
2. di quale corso di laurea fai parte?
3. che libro di algebra lineare usi?
Perdonatemi il doppio post allora, non ho letto ammetto.
faccio fisica
Ho preso abate, però ho anche il lang (anche se credo lo leggerò dopo l'esame altrimenti non faccio analisi a sufficienza), quanto enunciato è scritto nelle slide però
faccio fisica
Ho preso abate, però ho anche il lang (anche se credo lo leggerò dopo l'esame altrimenti non faccio analisi a sufficienza
), quanto enunciato è scritto nelle slide però
La mia risposta di prima ti mostra che, se $f$ è iniettiva, l'immagine di un insieme di vettori linearmente indipendenti è ancora linearmente indipendente.
Ora mi pare di capire tu sia interessato al viceversa: questo però è se possibile ancora più facile: supponi che $f : V\to W$ abbia la proprietà per cui ogni insieme di vettori lin. indip. in $V$ sia lin. indip in $W$ e prendi una base di $V$, diciamo \(\{v_1,...,v_n\}\). Siccome $f$ è iniettiva se e solo se $f(w)=0$ implica $w=0$ puoi ridurti a dimostrare questa cosa.
Del resto, se $f(w)=0$, puoi scrivere $w=\sum a_i v_i$, e ora $0=f(\sum a_i v_i)=\sum a_i f(v_i)$. Ora gli $f(v_i)$ sono lin. indip. in $W$, cosa che implica che tutti gli $a_i$ sono zero. Quindi $w$ era zero (lo zero ha coefficienti $(0,...,0)$ in qualsiasi base).
Ora mi pare di capire tu sia interessato al viceversa: questo però è se possibile ancora più facile: supponi che $f : V\to W$ abbia la proprietà per cui ogni insieme di vettori lin. indip. in $V$ sia lin. indip in $W$ e prendi una base di $V$, diciamo \(\{v_1,...,v_n\}\). Siccome $f$ è iniettiva se e solo se $f(w)=0$ implica $w=0$ puoi ridurti a dimostrare questa cosa.
Del resto, se $f(w)=0$, puoi scrivere $w=\sum a_i v_i$, e ora $0=f(\sum a_i v_i)=\sum a_i f(v_i)$. Ora gli $f(v_i)$ sono lin. indip. in $W$, cosa che implica che tutti gli $a_i$ sono zero. Quindi $w$ era zero (lo zero ha coefficienti $(0,...,0)$ in qualsiasi base).
Grazie ma in realtà l'inverso l'ho capito, forse proprio perché più semplice come dicevi.
In realtà mi incarto in un altro punto, ma che per voi deve essere talmente semplice che nemmeno vedete dove, supportato anche dalla mia poca capacità di esprimermi mi sa
Ci riprovo a metterla giù in altro modo, voglio dimostrare la proposizione:
SE ho f: V->W iniettiva e {v 1 ,..,v k } insieme libero di V => l'immagine è un insieme libero di W
Praticamente si passa dal punto che prendo ${f(v_1),...,f(v_k)}$ e impongo $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ e nei vari passi della dimostrazione va a dimostrare che $lambda_i=0$ per forza. (E ho capito benissimo come fa a dimostrare che quei lambda siano zero obbligatoriamente)
Il problema è nasce in un altro punto: io mi trovo ad imporre a un certo punto della dimostrazione che $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ dove io ho diverse incognite che non conosco, non so che valori abbiano. Sarebbe cioè come avere:
chiamo $lambda=x$ e $f(a)=y$ per rendere meglio l'idea. $lambda_1f(v_1)+lambda_kf(v_2))+lambda_kf(v_3)=0$ cioè: $x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3=0$ la dimostrazione mi va a far vedere che le $x_i$ sono per forza zero, bene, ma non mi garantisce nulla sulle y!
Altro esempio: due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se l'unica combinazione lineare che mi dia zero è data da coefficienti nulli.
Prendo i vettori $(1,0,0)$,$(0,1,0),(0,0,1)$ e allora dico $x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)=0$ dimostro che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza allora deduco che i vettori sono linearmente indipendenti.
Il caso della dimostrazione è invece: io ho imposto $x_1(a,b,c)+x_2(a_1,b_1,c_1)+x_3(a_2,b_2,c_2)=0$ dimostro che per le proprietà iniettive della mia applicazione lineare che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza. Però non posso dedurre un bel nulla sui vettori perché sono variabili anche essi. Il caso $(a,b,c)=(1,0,0),(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0),(a_2,b_2,c_2)=(0,1,0)$ ne è un esempio: rispetta che tutti i gli $x$ siano per forza zero $x_1(1,0,0)+x_2(1,0,0)+x_3(0,1,0)=0$ pero l'insieme $(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0)$ non è linearmente indipendente.
Spero di essermi spiegato meglio nel caso contrario, bastonatemi XD
In realtà mi incarto in un altro punto, ma che per voi deve essere talmente semplice che nemmeno vedete dove, supportato anche dalla mia poca capacità di esprimermi mi sa
Ci riprovo a metterla giù in altro modo, voglio dimostrare la proposizione:
SE ho f: V->W iniettiva e {v 1 ,..,v k } insieme libero di V => l'immagine è un insieme libero di W
Praticamente si passa dal punto che prendo ${f(v_1),...,f(v_k)}$ e impongo $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ e nei vari passi della dimostrazione va a dimostrare che $lambda_i=0$ per forza. (E ho capito benissimo come fa a dimostrare che quei lambda siano zero obbligatoriamente)
Il problema è nasce in un altro punto: io mi trovo ad imporre a un certo punto della dimostrazione che $lambda_1f(v_1)+...+lambda_kf(v_k)=0$ dove io ho diverse incognite che non conosco, non so che valori abbiano. Sarebbe cioè come avere:
chiamo $lambda=x$ e $f(a)=y$ per rendere meglio l'idea. $lambda_1f(v_1)+lambda_kf(v_2))+lambda_kf(v_3)=0$ cioè: $x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3=0$ la dimostrazione mi va a far vedere che le $x_i$ sono per forza zero, bene, ma non mi garantisce nulla sulle y!
Altro esempio: due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se l'unica combinazione lineare che mi dia zero è data da coefficienti nulli.
Prendo i vettori $(1,0,0)$,$(0,1,0),(0,0,1)$ e allora dico $x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)=0$ dimostro che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza allora deduco che i vettori sono linearmente indipendenti.
Il caso della dimostrazione è invece: io ho imposto $x_1(a,b,c)+x_2(a_1,b_1,c_1)+x_3(a_2,b_2,c_2)=0$ dimostro che per le proprietà iniettive della mia applicazione lineare che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza. Però non posso dedurre un bel nulla sui vettori perché sono variabili anche essi. Il caso $(a,b,c)=(1,0,0),(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0),(a_2,b_2,c_2)=(0,1,0)$ ne è un esempio: rispetta che tutti i gli $x$ siano per forza zero $x_1(1,0,0)+x_2(1,0,0)+x_3(0,1,0)=0$ pero l'insieme $(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0)$ non è linearmente indipendente.
Spero di essermi spiegato meglio
nel caso contrario, bastonatemi XD
$f$ è iniettiva, per dio! Se $f(v)=0$, $v$ era zero! Ora, siccome lo zero non può essere vettore di alcuna base, non c'è alcun modo in cui $f(v)$ possa annullarsi!
Se $f(v_i)$ fossero $(1,0,0),(2,0,0),(0,1,0)$ io vado a dimostrare che gli $lambda_i$ sono tutti zero per le proprietà di iniettività della funzione. A questo punto $lambda_1 (1,0,0)+ lambda_2 (2,0,0)+ lambda_3 (0,1,0)=0$ infatti sarebbe: $0*(1,0,0)+0*(2,0,0)+0*(0,1,0)=0$ la dimostrazione dovrebbe concludere che sono l. indipendenti quell'insieme di vettori, e invece $(1,0,0),(2,0,0),(0,1,0)$ non lo sono.
E' questo a non tornarmi, non riesco a capire il suggerimento dell'iniettività, devi scusarmi
E' questo a non tornarmi, non riesco a capire il suggerimento dell'iniettività, devi scusarmi
Perché non ti è chiaro cos'è una funzione lineare iniettiva. Pensaci: non può esistere nessuna funzione lineare iniettiva che manda un vettore non nullo in zero, quindi non può esistere una funzione lineare iniettiva che ha quei tre vettori dipendenti come immagine: la ragione è che se $fv_3=afv_1+bfv_2$, allora $f(v)=f(av_1+bv_2)$, quindi $f$ non è iniettiva. O se lo era, allora $v_3=av_1+bv_2$.
Forse ho capito il tuo consiglio.... dimmi se è giusto : il mio esempio non è iniettivo poiché imporrebbe l'esistenza in quanto linearmente dipendenti di una combinazione del genere $mf(v_1)+nf(v_2)=0$ e per linearità $f(mv_1+nv_2)=0$ il che vorrebbe dire che la controimmagine $mv_1+nv_2$ sarebbe il vettore nullo $mv_1+nv_2=0_v$ e quindi dato che m,n erano stati presi diversi da zero questo impone che v_1 e v_2 fossero linearmente dipendenti (insomma rompo le ipotesi oltre che a te le scatole XD)
Mi piacerebbe farti vedere perché mi incartavo e mi sono incarognito a voler capire tale passaggio, perché anche in questa dimostrazione da uso del porre uguale a zero e determinare i lambda... http://imageshack.com/a/img922/7707/ggTGgG.jpg
nel punto: http://imageshack.com/a/img924/4534/J6T3cD.jpg
Però qua non c'è iniettività né nulla perché non faccia funzionare quanto dicevo sopra
: il mio esempio non è iniettivo poiché imporrebbe l'esistenza in quanto linearmente dipendenti di una combinazione del genere $mf(v_1)+nf(v_2)=0$ e per linearità $f(mv_1+nv_2)=0$ il che vorrebbe dire che la controimmagine $mv_1+nv_2$ sarebbe il vettore nullo $mv_1+nv_2=0_v$ e quindi dato che m,n erano stati presi diversi da zero questo impone che v_1 e v_2 fossero linearmente dipendenti (insomma rompo le ipotesi oltre che a te le scatole XD)Mi piacerebbe farti vedere perché mi incartavo e mi sono incarognito a voler capire tale passaggio, perché anche in questa dimostrazione da uso del porre uguale a zero e determinare i lambda... http://imageshack.com/a/img922/7707/ggTGgG.jpg
nel punto: http://imageshack.com/a/img924/4534/J6T3cD.jpg
Però qua non c'è iniettività né nulla perché non faccia funzionare quanto dicevo sopra
"ìawa vuole l'accento":
Altro esempio: due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se l'unica combinazione lineare che mi dia zero è data da coefficienti nulli.
Prendo i vettori $(1,0,0)$,$(0,1,0),(0,0,1)$ e allora dico $x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)=0$ dimostro che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza allora deduco che i vettori sono linearmente indipendenti.
Il caso della dimostrazione è invece: io ho imposto $x_1(a,b,c)+x_2(a_1,b_1,c_1)+x_3(a_2,b_2,c_2)=0$ dimostro che per le proprietà iniettive della mia applicazione lineare che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza. Però non posso dedurre un bel nulla sui vettori perché sono variabili anche essi. Il caso $(a,b,c)=(1,0,0),(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0),(a_2,b_2,c_2)=(0,1,0)$ ne è un esempio: rispetta che tutti i gli $x$ siano per forza zero $x_1(1,0,0)+x_2(1,0,0)+x_3(0,1,0)=0$ pero l'insieme $(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0)$ non è linearmente indipendente.
Spero di essermi spiegato meglio
"ìawa vuole l'accento":[/quote]
Forse ho capito il tuo consiglio.... dimmi se è giusto
Mi piacerebbe farti vedere perché mi incartavo e mi sono incarognito a voler capire tale passaggio, perché anche in questa dimostrazione da uso del porre uguale a zero e determinare i lambda... http://imageshack.com/a/img922/7707/ggTGgG.jpg
nel punto: http://imageshack.com/a/img924/4534/J6T3cD.jpg
Però qua non c'è iniettività né nulla perché non faccia funzionare quanto dicevo sopra
[quote="ìawa vuole l'accento"]
Altro esempio: due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se l'unica combinazione lineare che mi dia zero è data da coefficienti nulli.
Prendo i vettori $(1,0,0)$,$(0,1,0),(0,0,1)$ e allora dico $x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)=0$ dimostro che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza allora deduco che i vettori sono linearmente indipendenti.
Il caso della dimostrazione è invece: io ho imposto $x_1(a,b,c)+x_2(a_1,b_1,c_1)+x_3(a_2,b_2,c_2)=0$ dimostro che per le proprietà iniettive della mia applicazione lineare che $x_1,x_2,x_3$ sono tutti $0$ per forza. Però non posso dedurre un bel nulla sui vettori perché sono variabili anche essi. Il caso $(a,b,c)=(1,0,0),(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0),(a_2,b_2,c_2)=(0,1,0)$ ne è un esempio: rispetta che tutti i gli $x$ siano per forza zero $x_1(1,0,0)+x_2(1,0,0)+x_3(0,1,0)=0$ pero l'insieme $(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0)$ non è linearmente indipendente.
Spero di essermi spiegato meglio
Mi pacerebbe fare un up del post
Pur essendo andato avanti con la teoria e gli esercizi in questi giorni, questa dimostrazione mi risulta ancora ostica, se ritenete debba aprire una discussione differente ditemelo
Grazie ancora
Ogni persona ha una definizione davvero elementare che fa fatica a entrargli in testa (per me è capire la differenza tra "condizione necessaria" e "condizione sufficiente"), probabilmente tu hai trovato la tua
Il punto della dimostrazione è tutto qui: se $f$ è iniettiva, $f(v)=0$ implica $v=0$.
Il punto della dimostrazione è tutto qui: se $f$ è iniettiva, $f(v)=0$ implica $v=0$.
Ciao killing
No ma quello per fortuna ora l'ho capito, ho capito dove sbagliavo solo grazie a voi.
Il problema e che in quest'altra dimostrazione non c'è l'ipotesi di iniettività, e ora che avevo capito l'altra grazie al tuo suggerimento qui proprio non capisco cosa sfrutti, se ti va di darci un occhio te ne sarei ulteriormente grato (già più di quanto sia per la tua pazienza precedente)
http://imagizer.imageshack.us/a/img922/7707/ggTGgG.jpg
esattamente in questo punto dove pone:
http://imagizer.imageshack.us/a/img924/4534/J6T3cD.jpg
Secondo me in questo caso non dovrebbe funzionare..
E' sempre un piacere poter discutere con voi. Buona giornata
No ma quello per fortuna ora l'ho capito, ho capito dove sbagliavo solo grazie a voi.
Il problema e che in quest'altra dimostrazione non c'è l'ipotesi di iniettività, e ora che avevo capito l'altra grazie al tuo suggerimento qui proprio non capisco cosa sfrutti, se ti va di darci un occhio te ne sarei ulteriormente grato (già più di quanto sia per la tua pazienza precedente)
http://imagizer.imageshack.us/a/img922/7707/ggTGgG.jpg
esattamente in questo punto dove pone:
http://imagizer.imageshack.us/a/img924/4534/J6T3cD.jpg
Secondo me in questo caso non dovrebbe funzionare..
E' sempre un piacere poter discutere con voi. Buona giornata
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