Punti comuni chiusure proiettive curve affini
Ciao, amici! Trovo sul mio libro di geometria (Sernesi, Geometria I, teorema 33.1) che se \(\mathcal{C}\) e \(\mathcal{D}\) sono curve algebriche piane affini, di \(\mathbf{A}^2(\mathbb{K})\) con \(\mathbb{K}\) campo algebricamente chiuso, allora se hanno un numero finito di punti in comune anche le loro chiusure proiettive hanno finiti punti in comune.
Non ne capisco affatto il perché... Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmelo?
Ho cercato come un disperato su Internet, ma non ho trovato niente...
Mi è chiaro che, scrivendo le equazioni delle due curve come
\(\mathcal{C}:f(X,Y)=0\) e \(\mathcal{D}:g(X,Y)=0\)
se esistono $k$ finite coppie di $\tilde{X},\tilde{Y}$ tali che \(f(\tilde{X},\tilde{Y})=0=g(\tilde{X},\tilde{Y})\), omogeneizzando i polinomi \(f(X,Y)\) e \(g(X,Y)\) e imponendo \((X,Y)=(\tilde{X},\tilde{Y})\) si ottengono $k$ equazioni in $X_0$ di grado minore o uguale al massimo grado di \(f(X,Y)\) e \(g(X,Y)\), con un numero $<\infty$ di soluzioni \(\tilde{X_0}\) comuni alle due equazioni, tali che ogni punto \([\tilde{X_0},\tilde{X},\tilde{Y}]\), cioè ogni multiplo della terna, è comune ad entrambe le chiusure proiettive.
Ma, se \(X_0=0\), che cosa mi garantisce che non esistano infinite terne \((0,X,Y)\) che risolvano le equazioni di entrambe le chiusure proiettive? In altre parole: che non esistano infinite coppie \((X,Y)\) che risolvano le equazioni ottenute privando $f$ e $g$ dei termini di grado strettamente minore del proprio grado (ciò che si ottiene imponendo $X_0=0$ nelle equazioni delle chiusure proiettive)?
Non ci sto capendo nulla...
Grazie di cuore a tutti!
Non ne capisco affatto il perché... Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmelo?
Ho cercato come un disperato su Internet, ma non ho trovato niente...
Mi è chiaro che, scrivendo le equazioni delle due curve come
\(\mathcal{C}:f(X,Y)=0\) e \(\mathcal{D}:g(X,Y)=0\)
se esistono $k$ finite coppie di $\tilde{X},\tilde{Y}$ tali che \(f(\tilde{X},\tilde{Y})=0=g(\tilde{X},\tilde{Y})\), omogeneizzando i polinomi \(f(X,Y)\) e \(g(X,Y)\) e imponendo \((X,Y)=(\tilde{X},\tilde{Y})\) si ottengono $k$ equazioni in $X_0$ di grado minore o uguale al massimo grado di \(f(X,Y)\) e \(g(X,Y)\), con un numero $<\infty$ di soluzioni \(\tilde{X_0}\) comuni alle due equazioni, tali che ogni punto \([\tilde{X_0},\tilde{X},\tilde{Y}]\), cioè ogni multiplo della terna, è comune ad entrambe le chiusure proiettive.
Ma, se \(X_0=0\), che cosa mi garantisce che non esistano infinite terne \((0,X,Y)\) che risolvano le equazioni di entrambe le chiusure proiettive? In altre parole: che non esistano infinite coppie \((X,Y)\) che risolvano le equazioni ottenute privando $f$ e $g$ dei termini di grado strettamente minore del proprio grado (ciò che si ottiene imponendo $X_0=0$ nelle equazioni delle chiusure proiettive)?
Non ci sto capendo nulla...
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Ci sono, forse: qualunque polinomio omogeneo \(F(X,Y)\in\mathbb{K}[X,Y]\) in due incognite con \(\mathbb{K}\) algebricamente chiuso, di grado $d$, è fattorizzabile come\[F(X,Y)=(a_1 Y-b_1 X)...(a_d Y-b_d X)\] con \((a_i,b_i)\ne (0,0)\) univocamente determinate a meno di fattori di proporzionalità la cui produttoria vale 1.
Quindi, se $X_0=0$ le coppie di $X$ e $Y$ che soddisfano le equazioni delle chiusure proiettive sono multipli di un numero $
$oo$ grazie ancora!!!
Quindi, se $X_0=0$ le coppie di $X$ e $Y$ che soddisfano le equazioni delle chiusure proiettive sono multipli di un numero $
$oo$ grazie ancora!!!
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