Punti antipodali

[5mrkv]

Let \(q: \mathbb{S}^{1}\rightarrow \mathbb{S}^{1}\) be the map \(q(z)=z^{2}\) , where \(z\) is a complex number. Or in real coordinates, \(q(\cos \theta,\sin \theta)=(\cos 2\theta,\sin 2\theta)\). The inverse image under \(q\) of any point of \(\mathbb{S}^{1}\) consists of two antipodal points.

Posso riscrivere \(q\) in questo modo a me più familiare: Prima la funzione per le coordinate polari \(q_{0}:\mathbb{S}^{1}\rightarrow \{1\}\times [0,2\pi)\) e poi \(q_{1}:\{1\}\times [0,2\pi)\rightarrow \mathbb{S}^{1}\) definita come \(q_{1}(1,\theta)=(\cos 2\theta,\sin 2\theta)\). Prendendo due punti antipodali ovvero \((1,\theta)\) e \((1,\theta+\pi)\) allora
\[
\begin{split}
\cos 2(\theta +\pi)
&=\cos (2\theta+2\pi) \\
&=\cos 2\theta\cos 2\pi - \sin 2\theta\sin 2\pi \\
&=\cos 2\theta \\ \\

\sin 2(\theta +\pi)
&=\sin (2\theta+2\pi) \\
&=\sin 2\theta\cos 2\pi + \sin 2\pi \cos 2\theta\\
&=\sin 2\theta \\ \\
\end{split}
\]
quindi l'immagine dei due punti con \(q_{1}\) e la stessa. Come mostro però che preso un punto di \(\mathbb{S}^{1}\) allora la retroimmagine restituisce due punti e questi sono antipodali? Dovrei mostrare che \(q_{1}^{-1}(x,y)=(\cos 2)^{-1}x \cap (\sin2)^{-1}y\) è composto da due elementi quindi sarei a posto. Secondo voi c'è un modo algebrico per farlo senza dovere fare uno studio di funzione?

[Pappappero1]

Sì..semplicemente per il fatto che un polinomio di grado due su un campo non può avere più di due radici!

[5mrkv]

Fai in qualche modo riferimento allo sviluppo in serie?

[Pappappero1]

no...fissa un punto $w \in S^1$. In particolare $w$ è un punto di $\CC$. Ogni preimmagine $z$ di $w$ deve soddisfare $z^2 = w$. Considera il polinomio $z^2 -w$, che è un polinomio di secondo grado in $z$. Quindi esistono al più due elementi $z_1,z_2$ che sono zeri di quel polinomio.

[5mrkv]

Ho capito, grazie. Pensavo intendessi la funzione nel modo in cui l'avevo scritta io. Ho notato che nel caso complesso la retroimmagine è immediata però ho ragionato con i numeri reali perché non ho capito bene l'inclusione \(S^{1}\subset \mathbb{C}\) a cui anche tu fai riferimento. Effettivamente guardando nel libro di Analisi vedo che \(\mathbb{C}:=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\).

[Pappappero1]

La biiezione naturale (che è certamente più di una semplice biiezione) di $\CC$ con $\RR \times \RR$ è data da
\[ (a,b) \mapsto a + ib\]

In particolare la circonferenza $S^1$ di $\RR^2$ viene mappata sulla circonferenza dei complessi di norma $1$, che è un sottoinsieme dei complessi chiuso sotto moltiplicazione. Infatti se hai $z_1,z_2$ di norma $1$ anche il loro prodotto ha norma $1$. In particolare, è facile dimostrare che $S^1$ è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo del campo $\CC$.

[5mrkv]

Ok, grazie.