Provare unicità endomorfismo
Sono dati i seguenti vettori di R4: u1 = (0, 1, 0, 1), u2 = (1, 1, 2, 1), u3 = (1, 0, 1, 0),u4 = (0, 0, 0, 1)
provare che esiste un solo endomorfismo f di R4 tale che
f(u1) = 2u1, f(u2) = u2, f(u3) = u2, f(u4) = u2
e trovare la matrice associata ad f rispetto alla base (u1, u2, u3, u4);
Come matrice io ho trovato
0 1 1 1
2 1 1 1
0 2 2 2
2 1 1 1
Che si può ridurre a
0 1 1 1
2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
è giusto?
COME DIMOSTRO L'esistenza dell'endomorfismo?? e che è unico??
Grazie a tutti, ciao
provare che esiste un solo endomorfismo f di R4 tale che
f(u1) = 2u1, f(u2) = u2, f(u3) = u2, f(u4) = u2
e trovare la matrice associata ad f rispetto alla base (u1, u2, u3, u4);
Come matrice io ho trovato
0 1 1 1
2 1 1 1
0 2 2 2
2 1 1 1
Che si può ridurre a
0 1 1 1
2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
è giusto?
COME DIMOSTRO L'esistenza dell'endomorfismo?? e che è unico??
Grazie a tutti, ciao
Risposte
Basta mostrare che i vettori $u_i$ sono base di $RR^4$ ovvero linearmente indipendenti.
Mi faresti vedere come hai determinato la matrice? E sopratutto, qual è la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare?
Mi faresti vedere come hai determinato la matrice? E sopratutto, qual è la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare?
Ok, innanzitutto grazie.
Dunque i vettori sono Lin IND .. quindi è unico l'endomorfismo! (giusto?)
Per trovare la matrice ho semplicemente scritto le vare f(U) in colonna. (di questo ne sono abb sicuro)
Ciao
Dunque i vettori sono Lin IND .. quindi è unico l'endomorfismo! (giusto?)
Per trovare la matrice ho semplicemente scritto le vare f(U) in colonna. (di questo ne sono abb sicuro)
Ciao
Giusto. Mi sapresti però dire perchè?
A me la matrice sembra sbagliata; ha sulle colonne le coordinate dei vettori $f(u_i)$ mentre a te ha le componenti dei singoli vettori... ricontrollala per bene!
A me la matrice sembra sbagliata; ha sulle colonne le coordinate dei vettori $f(u_i)$ mentre a te ha le componenti dei singoli vettori... ricontrollala per bene!
aspetta colonna 1: F(u1) = 2 u1
quindi scrivo il vettore u1 moltiplicato per 2 = 0 2 0 2
e cosi via ....
Ti chiedo ancora una cosa ... per sapere se l'endomorfismo è semplice mi devo calcolare gli autovalori, quindi verificare che la loro molteplicita sia uguale alla dimv (ovvero a n-r(a-ki)
scusa se ti chiedo tutte queste cose ma ho dato oggi l'esame di geometria e domani ho l'orale ... e questo esercizio mi è un po ostico (credo di averlo fatto giusto ... ma nn si sa mai)
quindi scrivo il vettore u1 moltiplicato per 2 = 0 2 0 2
e cosi via ....
Ti chiedo ancora una cosa ... per sapere se l'endomorfismo è semplice mi devo calcolare gli autovalori, quindi verificare che la loro molteplicita sia uguale alla dimv (ovvero a n-r(a-ki)
scusa se ti chiedo tutte queste cose ma ho dato oggi l'esame di geometria e domani ho l'orale ... e questo esercizio mi è un po ostico (credo di averlo fatto giusto ... ma nn si sa mai)
No, rispetto alla base $u_1,u_2,u_3,u_4$ e sapendo che l'applicazione opera come hai descritto la matrice è $((2,0,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$...
scusa ma riducendo la mia non si ottiene la tua?
poi ... come hai fatto a determinarla allora perche mi sa che io sbaglio proprio il procedimento.
se u1 = 0,1,0,1 .. f(u1) = 0 2 0 2 ... direi
Grazie mille ciao
poi ... come hai fatto a determinarla allora perche mi sa che io sbaglio proprio il procedimento.
se u1 = 0,1,0,1 .. f(u1) = 0 2 0 2 ... direi
Grazie mille ciao
ogni vettore è esprimibile come combinazione lineare dei vettori di ogni sua base. Fissata una base, tali combinazioni lineare sono uniche.
Noi abbiamo una base ed un'applicazione lineare e sappiamo che la colonna della nostra matrice prende questi scalari e li mette in colonna (detto in maniera pratica!), cioè fissata una base $u_1,u_2,u_3,u_4$ si ha che la $i$-esima colonna della matrice è data da $a,b,c,d$ tali che $F(u_i)=au_1+bu_2+cu_3+du_4$... è semplice ora capire il perché della mia matrice!
Noi abbiamo una base ed un'applicazione lineare e sappiamo che la colonna della nostra matrice prende questi scalari e li mette in colonna (detto in maniera pratica!), cioè fissata una base $u_1,u_2,u_3,u_4$ si ha che la $i$-esima colonna della matrice è data da $a,b,c,d$ tali che $F(u_i)=au_1+bu_2+cu_3+du_4$... è semplice ora capire il perché della mia matrice!
ok, grazie ho capito.
Quindi la prima colonna sarebbe 2U1 + 0u2 +0u3 +0u4 = 2 0 0 0
e le altre : 0u1 + 1u2 + 0u3 + 0u4 = 0 1 0 0
quindi
2 0 0 0
0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Grazie mille. Speriamo il mio errore non sia così grave da rendere insufficente l'esame.
Quindi la prima colonna sarebbe 2U1 + 0u2 +0u3 +0u4 = 2 0 0 0
e le altre : 0u1 + 1u2 + 0u3 + 0u4 = 0 1 0 0
quindi
2 0 0 0
0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Grazie mille. Speriamo il mio errore non sia così grave da rendere insufficente l'esame.
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