Provare l'Endomorfismo di una Funzione
Buonasera ragazzi, l'esercizio in questione mi chiede :
Nello spazio vettoriale $V_3$ è data la funzione $ f : V_3 →V_3 $ così definita: $ f(x) = i∧x+2j∧x−k∧x $ .
1. Provare che $f$ è un endomorfismo di $V_3$ .
Nel corso di geometria e algebra che sto seguendo abbiamo solamente accennato a cosa fosse un endomorfismo ovvero: $f: V->V$ , cioè una funzione in cui lo spazio di arrivo è uguale allo spazio di partenza ( potrebbe andar bene sostenere che f sia un endomorfismo dato che $ f : V_3 →V_3 $ oppure devo dimostrare che $f $ è sia iniettiva che suriettiva tramite il teorema di nullità più rango ? ) . Tuttavia, mi viene difficile dimostrare che sia $f$ sia un endomorfismo.
Qualcuno potrebbe aiutarmi in tale impresa?
Grazie mille e buona serata!
Nello spazio vettoriale $V_3$ è data la funzione $ f : V_3 →V_3 $ così definita: $ f(x) = i∧x+2j∧x−k∧x $ .
1. Provare che $f$ è un endomorfismo di $V_3$ .
Nel corso di geometria e algebra che sto seguendo abbiamo solamente accennato a cosa fosse un endomorfismo ovvero: $f: V->V$ , cioè una funzione in cui lo spazio di arrivo è uguale allo spazio di partenza ( potrebbe andar bene sostenere che f sia un endomorfismo dato che $ f : V_3 →V_3 $ oppure devo dimostrare che $f $ è sia iniettiva che suriettiva tramite il teorema di nullità più rango ? ) . Tuttavia, mi viene difficile dimostrare che sia $f$ sia un endomorfismo.
Qualcuno potrebbe aiutarmi in tale impresa?
Grazie mille e buona serata!
Risposte
Ciao 
Allora, prima di tutto un endomorfismo non è una funzione da uno spazio in sé ma è un omomorfismo[nota]Un omomorfismo è una funzione fra due strutture algebriche che conserva le operazioni in esse definite.[/nota] da uno spazio in sè. Gli omomorfismi fra spazi vettoriali si chiamano applicazioni lineari, quindi un endomorfismo di uno spazio vettoriale è un'applicazione lineare(che non è una semplice funzione fra due spazi!).
Un endomorfismo può anche essere non iniettivo, quello che devi dimostrare è che $f$ è lineare
Allora, prima di tutto un endomorfismo non è una funzione da uno spazio in sé ma è un omomorfismo[nota]Un omomorfismo è una funzione fra due strutture algebriche che conserva le operazioni in esse definite.[/nota] da uno spazio in sè. Gli omomorfismi fra spazi vettoriali si chiamano applicazioni lineari, quindi un endomorfismo di uno spazio vettoriale è un'applicazione lineare(che non è una semplice funzione fra due spazi!).
Un endomorfismo può anche essere non iniettivo, quello che devi dimostrare è che $f$ è lineare
Mi sembra tu abbia un po' di confusione su cosa sia un endomorfismo.
Nell'algebra si studiano delle strutture algebriche (insiemi dotati di certe operazioni) e le mappe tra di esse che ne preservano la struttura stessa, detti omomorfismi.
Ci sono vari tipi di omomorfismi, ad esempio:
Nell'algebra si studiano delle strutture algebriche (insiemi dotati di certe operazioni) e le mappe tra di esse che ne preservano la struttura stessa, detti omomorfismi.
Ci sono vari tipi di omomorfismi, ad esempio:
[*:htxwtg8b]un omomorfismo suriettivo si dice epimorfismo[/*:m:htxwtg8b]
[*:htxwtg8b]un omomorfismo iniettivo si dice monomorfismo[/*:m:htxwtg8b]
[*:htxwtg8b]un omomorfismo biunivoco si dice isomorfismo[/*:m:htxwtg8b]
[*:htxwtg8b]un omomorfismo $V \to V$, ovvero che ha dominio e codominio uguali, si dice endomorfismo[/*:m:htxwtg8b]
[*:htxwtg8b]un endomorfismo biunivoco, ovvero che è anche un isomorfismo, si dice automorfismo[/*:m:htxwtg8b]
[*:htxwtg8b]etc.[/*:m:htxwtg8b][/list:u:htxwtg8b]
Nell'algebra lineare si studiano gli spazi vettoriali e gli omomorfismi sono le mappe lineari.
Quindi, venendo alla domanda, una mappa è un endomorfismo di spazi vettoriali se è un omomorfismo di spazi vettoriali, ovvero una mappa lineare, e se ha dominio e codominio uguali.
Nel tuo caso dunque devi verificare anche che la mappa sia lineare
Ok, perfetto.
Per dimostrare la linearità procederei in questa maniera:
$ f : V_3 →V_3 $
$ f(x) = i∧x+2j∧x−k∧x = $
$= f(x)+f(x') = i∧x+2j∧x−k∧x + i∧x'+2j∧x'−k∧x' = $
$= i∧(x+x')+2j∧(x+x')−k∧(x+x') = f(x+x')$
potrebbe andare?
Nel caso in cui avessi $ f:R^{2,2}→R^{2,2},A→1/2(A+t^A) $, posso prendere due matrici $A$ e $A'$ e ripetere il procedimento di prima?
grazie mille a entrambi e buona giornata!
Per dimostrare la linearità procederei in questa maniera:
$ f : V_3 →V_3 $
$ f(x) = i∧x+2j∧x−k∧x = $
$= f(x)+f(x') = i∧x+2j∧x−k∧x + i∧x'+2j∧x'−k∧x' = $
$= i∧(x+x')+2j∧(x+x')−k∧(x+x') = f(x+x')$
potrebbe andare?
Nel caso in cui avessi $ f:R^{2,2}→R^{2,2},A→1/2(A+t^A) $, posso prendere due matrici $A$ e $A'$ e ripetere il procedimento di prima?
grazie mille a entrambi e buona giornata!
No è sbagliato. Qual'è la definizione di applicazione lineare che ti è stata data?
Questa:
Un' applicazione lineare tra V e W (detta anche trasformazione lineare , omomorfismo etc. ) è una funzione:
$ f: V-> W $
$\bar x$ $->$ $f$ ( $\bar x$ $)=$ $\bar y$ tale che valgono le seguenti condizioni:
$1)$ $f($ $\bar x$ + $\bar y)$= $f($ $\bar x )$ + $f($ $\bar y )$
$2)$ $f($ $\lambda$ $\bar x)$ = $\lambda$ $f($ $\bar x )$
Un' applicazione lineare tra V e W (detta anche trasformazione lineare , omomorfismo etc. ) è una funzione:
$ f: V-> W $
$\bar x$ $->$ $f$ ( $\bar x$ $)=$ $\bar y$ tale che valgono le seguenti condizioni:
$1)$ $f($ $\bar x$ + $\bar y)$= $f($ $\bar x )$ + $f($ $\bar y )$
$2)$ $f($ $\lambda$ $\bar x)$ = $\lambda$ $f($ $\bar x )$
Ho guardato di fretta e ti ho detto che era sbagliato, quando invece è giusto, per via del primo uguale. Hai scritto \(f(x)= \dots = f(x + x')\), che è falso se $x'$ è non nullo.
Quindi è corretto ma devi verificare anche l'omogeneità, che è altrettanto banale.
PS Occhio nella definizione di linearità che hai scritto due $y$ che non hanno nulla a vedere tra loro!
Quindi è corretto ma devi verificare anche l'omogeneità, che è altrettanto banale.
PS Occhio nella definizione di linearità che hai scritto due $y$ che non hanno nulla a vedere tra loro!
Ho risolto in tal maniera:
nel primo caso il prodotto vettoriale è bilineare pertanto la funzione lo è , più precisamente:
$f( \bar x)= (i-2j-k)$ $^^$ $\bar x $
$|(i,j,k),(1,2,-1),(x_1,x_2,x_3)|= i(2x_3+x_2)-j(x_3+x_1)+k(x_2-2x_1)$ la cui matrice associata è:
A=$((0,1,2),(-1,0,-1),(-2,1,0))$
nel secondo caso l'ho svolto nel seguente modo:
$f(A+B)=1/2 (A+B+ ^t(A+B)) = 1/2 (A+ ^tA)+ 1/2 (B+ ^tB)=f(A)+f(B)$
$f(\lambda A)= 1/2 (\lambdaA+ \lambda^tA)=\lambda 1/2 (A+^tA)= \lambdaf(A)$
spero vadano bene!
nel primo caso il prodotto vettoriale è bilineare pertanto la funzione lo è , più precisamente:
$f( \bar x)= (i-2j-k)$ $^^$ $\bar x $
$|(i,j,k),(1,2,-1),(x_1,x_2,x_3)|= i(2x_3+x_2)-j(x_3+x_1)+k(x_2-2x_1)$ la cui matrice associata è:
A=$((0,1,2),(-1,0,-1),(-2,1,0))$
nel secondo caso l'ho svolto nel seguente modo:
$f(A+B)=1/2 (A+B+ ^t(A+B)) = 1/2 (A+ ^tA)+ 1/2 (B+ ^tB)=f(A)+f(B)$
$f(\lambda A)= 1/2 (\lambdaA+ \lambda^tA)=\lambda 1/2 (A+^tA)= \lambdaf(A)$
spero vadano bene!
Sì va bene 
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