Provare epimorfismo
Ragazzi mi servirebbe un consiglio per risolvere la prima parte di un esercizio
Sia b: $ RR ^4 xx RR^4 rarr RR $ una forma bilineare simmetrica e sia v0 un vettore non isotropo rispetto a b.
a) Provare che l’applicazione f: $ RR ^4 rarr RR $ tale che f(v) = cv0(v) coefficiente di
Fourier di v rispetto a v0 è un epimorfismo.
ho provato che f è un omomorfismo, non riesco a capire come dimostrare che f è suriettiva
Sia b: $ RR ^4 xx RR^4 rarr RR $ una forma bilineare simmetrica e sia v0 un vettore non isotropo rispetto a b.
a) Provare che l’applicazione f: $ RR ^4 rarr RR $ tale che f(v) = cv0(v) coefficiente di
Fourier di v rispetto a v0 è un epimorfismo.
ho provato che f è un omomorfismo, non riesco a capire come dimostrare che f è suriettiva
Risposte
nessuno?
Basta sfruttare la linearità: $\RR$ è $1$-dimensionale quindi di fatto ti basta dimostrare che esiste almeno un vettore la cui immagine non è nulla, e poi da quello ti ricavi qualsiasi immagine.
Cosa ti garantisce che $f$ non è identicamente nulla???
Cosa ti garantisce che $f$ non è identicamente nulla???
non ho capito bene purtroppo cosa vuoi dire 
Prova a scrivere la definizione di funzione suriettiva. Per ogni elemento del codominio (in particolare nel nostro caso per ogni numero reale $r \in \RR$) devi trovare un punto nel dominio (nel nostro caso un vettore $v \in \RR^4$), tale che $f(v)=r$.
Detto questo, ti torna che se trovi un punto che ha immagine non nulla, poi sfruttando la linearità ottieni qualunque immagine?? Se non ti torna questo, cerca di spiegare bene cosa non ti convince.
Una volta che ti torna questa cosa, bisogna far vedere che effettivamente esiste un punto che ha immagine non nulla. Non ti viene in mente nulla nel testo dell'esercizio che ti dica che questo punto esiste???
Detto questo, ti torna che se trovi un punto che ha immagine non nulla, poi sfruttando la linearità ottieni qualunque immagine?? Se non ti torna questo, cerca di spiegare bene cosa non ti convince.
Una volta che ti torna questa cosa, bisogna far vedere che effettivamente esiste un punto che ha immagine non nulla. Non ti viene in mente nulla nel testo dell'esercizio che ti dica che questo punto esiste???
"Pappappero":
Prova a scrivere la definizione di funzione suriettiva. Per ogni elemento del codominio (in particolare nel nostro caso per ogni numero reale $r \in \RR$) devi trovare un punto nel dominio (nel nostro caso un vettore $v \in \RR^4$), tale che $f(v)=r$.
Detto questo, ti torna che se trovi un punto che ha immagine non nulla, poi sfruttando la linearità ottieni qualunque immagine?? Se non ti torna questo, cerca di spiegare bene cosa non ti convince.
Una volta che ti torna questa cosa, bisogna far vedere che effettivamente esiste un punto che ha immagine non nulla. Non ti viene in mente nulla nel testo dell'esercizio che ti dica che questo punto esiste???
se come vettore prendo proprio v0 ho che il coefficiente di fourier,quindi la sua immagine in questo caso, risulterà essere uguale a 1 e quindi diverso da 0
ok...quindi $f(v_0) = 1$. Se prendi un numero reale qualsiasi, che chiamiamo $r$, ti viene in mente un modo per trovare un vettore $v$ tale che $f(v)=r$ sapendo che $f$ è lineare??? A questo punto ti ho detto proprio tutto...
devo prendere il vettore rv0
Esatto.
Giusto una precisazione: Il coefficiente di fourier di $v_0$ è $1$ nel caso del prodotto scalare standard. In generale credo dipenda dalla matrice della forma bilineare (in realtà non sono sicuro di questa cosa, ma basta fare il conto per vedere cosa succede in generale). In ogni caso a noi basta che sia diverso da $0$, e questo è garantito da una delle ipotesi dell'esercizio.
Giusto una precisazione: Il coefficiente di fourier di $v_0$ è $1$ nel caso del prodotto scalare standard. In generale credo dipenda dalla matrice della forma bilineare (in realtà non sono sicuro di questa cosa, ma basta fare il conto per vedere cosa succede in generale). In ogni caso a noi basta che sia diverso da $0$, e questo è garantito da una delle ipotesi dell'esercizio.
grazie infinite per il grande aiuto 
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