Provare che il punto medio di un segmento appartiene ad un piano.

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio. Mi vengono dati due punti

$ M= (X1,X2,X3) $

$ M'= (1/3X1-2/3X2-2/3X3+2,-2/3X1+1/3X2-2/3X3,-2/2X1-2/3X2+1/3X3-2) $

Devo provare che al variare di M il punto medio del segmento $ MM' $ appartiene ad un piano $ pi $


Ho calcolato il punto medio del segmento , quindi risulta

$ S= ((4/3X1-2/3X2-2/3X3+2)/2,(-2/3X1+4/3X2-2/3X3)/2, (-2/3X1-2/3X2+4/3X3-2)/2 ) $

A questo punto ho scritto così


$ (1/2,1/2,1/2)(1/3,-1/3,-1/3)(4X1-2X2-2X3+6,2X1-4X2+2X3,2X1+2X2-4X3+6) $

Ora ho preso i vettori $ (1/2,1/2,1/2),(1/3,-1/3,-1/3) $ e ho considerato il piano da essi generato così

$ | ( x , y , z ),( 1/2 , 1/2 , 1/2 ),( 1/3 , -1/3 , -1/3 ) | = 1/3y-1/3z=0 $

Però il punto medio S non appartiene al piano di equazione $ 1/3y-1/3z=0 $

Dove sbaglio? Mi aiutate per favore? Grazie

[Sk_Anonymous]

Le coordinate del punto $S$ sono sbagliate. In effetti, posto $S=(X'_1,X'_2,X'_3)$, si ha :

\(\displaystyle \begin{cases} X'_1=\frac{4/3X_1-2/3X_2-2/3X_3+2}{3} \\X'_2=\frac{-2/3X_1+4/3X_2-2/3X_3}{3}\\X'_3=\frac{-2/3X_1-2/3X_2+4/3X_3-2}{3}\end{cases} \)

A questo punto occorre trovare una relazione (lineare) tra le variabili $X'_1,X'_2,X'_3$ e ciò si può ottenere
eliminando dal sistema precedente le variabili $X_1,X_2,X_3$. Il modo più rapido per questa operazione è osservare che sommando le 3 equazioni del sistema si ottiene che :
$X'_1+X'_2+X'_3=0$
che rappresenta appunto un piano di $E^3$.
C.D.D.

[marthy_92]

Grazie dell'aiuto ciromario avrei delle domande però..

1) Perchè al denominatore delle coordinate del punto $ S $ compare il numero 3?
Applicando la formula per calcolare il punto medio di un segmento non bisogna sommare componente per componente
i due punti estremi e dividere per due? Dove sbaglio?

2) L'esercizio dava anche le equazioni di un'affinità

$ { ( Y1=1/3(X1-2X2-2X3+6) ),( Y2=1/3(-2X1+X2-2X3) ),( Y3=1/3(-2X1-2X2+X3-6) ):} $

Devo dimostrare che il piano trovato prima , quindi $ \pi:X1'+X2'+X3'=0 $ è un piano fisso..
Qualche suggerimento? Conosco la definizione di punto fisso ovvero un punto tale che $ f(P)=P $ .
Per provare che quel piano è fisso come procedo?

[Sk_Anonymous]

@marthy
Ha i ragione: a denominatore ci va il "2" , non il "3". Comunque la relazione $X'_1+X'_2+Z'_3=0$ resta valida.
Per il resto ci sto pensando, anche se finora con scarsi risultati