Provare che $(A^°)_Y=\A^° \cap Y^°$
Salve a tutti sto cercando di risolvere questo problema
Siano ($X,\tau$) uno spazio topologico e ($Y,\tau_y$) un suo sottospazio. Per ogni $A \subset Y$ sia $\A^°$ l'interno di $A$ nel caso in cui $A$ è considerato come sottoinsieme di ($X,\tau$), mentre indichiamo con $(A^°)_Y$ l'interno di $A$ nel caso in cui $A$ è considerato come sottoinsieme di ($Y,\tau_y$).
Provare che $(A^°)_Y=\A^° \cap Y^°$
$(A^°)_Y$ l'interno di $A$ in $Y$ è dato dall'unione du tutti i sottoinsiemi di $A$ che sono aperti in $Y$
$(A^°)_Y= \cup V_\alpha$ dove $ \{V_\alpha \}$ è la collezione di sottoinsiemi di $A$ aperti in $Y$ e $\alpha \in J$ dove $J$ è un insieme di indici.
Per definizione di topologia indotta per ogni $\alpha \in J$, $V_\alpha=Y\cap U_\alpha$ dove $\{U_\alpha \}$ è la collezione di sottoinsiemi di $A$ che sono aperti in $X$
$(A^°)_Y= \cup V_\alpha=\cup(Y \cap U_\alpha)=Y\cap(cup U_\alpha)=Y \cap \A^°$
Alla fine ottengo $Y$ e non $Y^°$
Qualcuno può aiutarmi? dove ho sbagliato? Grazie in anticipo
Siano ($X,\tau$) uno spazio topologico e ($Y,\tau_y$) un suo sottospazio. Per ogni $A \subset Y$ sia $\A^°$ l'interno di $A$ nel caso in cui $A$ è considerato come sottoinsieme di ($X,\tau$), mentre indichiamo con $(A^°)_Y$ l'interno di $A$ nel caso in cui $A$ è considerato come sottoinsieme di ($Y,\tau_y$).
Provare che $(A^°)_Y=\A^° \cap Y^°$
$(A^°)_Y$ l'interno di $A$ in $Y$ è dato dall'unione du tutti i sottoinsiemi di $A$ che sono aperti in $Y$
$(A^°)_Y= \cup V_\alpha$ dove $ \{V_\alpha \}$ è la collezione di sottoinsiemi di $A$ aperti in $Y$ e $\alpha \in J$ dove $J$ è un insieme di indici.
Per definizione di topologia indotta per ogni $\alpha \in J$, $V_\alpha=Y\cap U_\alpha$ dove $\{U_\alpha \}$ è la collezione di sottoinsiemi di $A$ che sono aperti in $X$
$(A^°)_Y= \cup V_\alpha=\cup(Y \cap U_\alpha)=Y\cap(cup U_\alpha)=Y \cap \A^°$
Alla fine ottengo $Y$ e non $Y^°$
Qualcuno può aiutarmi? dove ho sbagliato? Grazie in anticipo
Risposte
Quello che vuoi dimostrare, nonché quello che hai dimostrato, è falso. Anche soltanto nel caso banale \(\displaystyle A = Y \) si ha che \(\displaystyle \mathrm{int}_Y A = \mathrm{int}_Y Y = Y \supseteq \mathrm{int}_X Y \), e coincidono solo se \(\displaystyle Y \) è aperto.
Similmente si ha che \(\displaystyle \mathrm{int}_Y A \supseteq \mathrm{int}_Y A \cap Y \) ma in generale non è una uguaglianza. È interessante notare che invece per la chiusura si ha l'uguaglianza. La proposta dell'esercizio è ancora meno vera, seppur sia vero che \(\displaystyle \mathrm{int} (A\cap B) = \mathrm{int} A \cap \mathrm{int} B \). Forse ti stava chiedendo di dimostrare questo, nota che non ci sono di mezzo più topologie.
Similmente si ha che \(\displaystyle \mathrm{int}_Y A \supseteq \mathrm{int}_Y A \cap Y \) ma in generale non è una uguaglianza. È interessante notare che invece per la chiusura si ha l'uguaglianza. La proposta dell'esercizio è ancora meno vera, seppur sia vero che \(\displaystyle \mathrm{int} (A\cap B) = \mathrm{int} A \cap \mathrm{int} B \). Forse ti stava chiedendo di dimostrare questo, nota che non ci sono di mezzo più topologie.
forse quello che chiedeva l'esercizio é provare che $A^°=(A^°)_Y \cap Y^°$ Questa è vera? Come faccio a provarla? Grazie
Prova a mettere \(Y = \emptyset\) a destra 
. Dove è comparso questo esercizio? Esame? Libro di testo? Esercizio dato a voce?
. Dove è comparso questo esercizio? Esame? Libro di testo? Esercizio dato a voce?
E' preso da un elenco di esercizi dati durante il corso. Se $Y=\emptyset$ allora $Y^°= \emptyset$ e quindi $A^°=\ emptyset$ Scusami ma non riesco a capire
Intendo dire che se valesse quella formula allora ogni insieme avrebbe interno vuoto, cosa ovviamente assurda. Comunque ciò che è vero è che \(\displaystyle (A\cap B)^{\circ} = A^{\circ} \cap B^{\circ} \), ma nell'insieme dato e non nella topologia indotta. Ti invito a provare a dimostrarlo.
Vale inoltre \(\displaystyle \mathrm{cl}_Y A = \mathrm{cl} A \cap Y \) dove la prima è la chiusura nella topologia indotta.
Vale inoltre \(\displaystyle \mathrm{cl}_Y A = \mathrm{cl} A \cap Y \) dove la prima è la chiusura nella topologia indotta.
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