Proprietà prodotto scalare.

[billytalentitalianfan]

E' sempre la proprietà distributiva a perseguitarmi!
Perché $<(u+v),w>$ $=$ $+$ ?

Il libro di testo effettua i seguenti passaggi:
1) sostituisce $|w|*w^(^)$ al posto di $w$ sia al membro destro che a quello sinistro dell'uguaglianza;
2)porta "fuori dal prodotto scalare" il modulo e lo "semplifica";
3) considera $<(u+v),w^(^)>$ come equivalente a $w^(^)*<(u+v),w^(^)>$ e poi conclude.

Quest'ultimo passaggio..perché è lecito?

[misanino]

Che cosa indichi con questo simbolo $w^(^)$?

[billytalentitalianfan]

CERCAVO di indicare un versore.

[misanino]

Non ho ben capito il tutto.
Fai così: riporta l'intera dimostrazione della proprietà distributiva, così la guardo e poi ti dico.
Va bene?

[billytalentitalianfan]

Allora, devo dimostrare che:
$<(u+v),w>$ $=$ $+$ .


Se $w=0$ non c’e nulla da dimostrare.
Indichiamo con r la retta generata da $w$ e consideriamo il versore $\hat w$ $=$ $w/|w|$ ;
osserviamo che: $<(u+w),v>$ $=$ $|w|*<(u+v),\hat w)>$

e che: $+$ $=$ $|w|*( + )$ .

E' dunque sufficiente provare che:
$<(u+v),\hat w)>$ $=$ $ + $ .

Poiché $\hat w$ è un versore, dall’osservazione precedente sappiamo che $\hat w*(<(u+v),\hat w)>$ è la proiezione ortogonale del vettore $u+v$ sulla retta $r$
e dunque si ha che:

$\hat w*(<(u+v),\hat w)>$ $=$ $\hat w*(+)$

da cui segue ciò che volevamo dimostrare.

Personalmente, non ho capito le ragioni che portano a quest'ultima equivalenza.

[misanino]

"billytalentitalianfan":

Poiché $\hat w$ è un versore, dall’osservazione precedente sappiamo che $\hat w*(<(u+v),\hat w)>$ è la proiezione ortogonale del vettore $u+v$ sulla retta $r$

Qual'è questa osservazione precedente e questa retta $r$?