Proprietà matrice somma trasposta

[teopd]

Ciao a tutti!
Qualcuno sa dirmi perché data la matrice A = \begin{pmatrix}
1/2 & 2 & 0\\
-2 & 1/2 & -1\\
0 & 1 & 1/2
\end{pmatrix}

Vale la seguente relazione: A^2 + AA^T = A. (Dove A^T è la trasposta di A)

Grazie

[teopd]

"TeM":In generale, data una matrice quadrata \(A\), vale l'identità \[ A\cdot A + A\cdot A^t = A \] se \(A\) è la matrice nulla oppure se è \(A\) è un tipo particolare di matrice antisimmetrica, ossia
se \(A^t = - A\) e \(a_{i,i} = \frac{1}{2}\). Inoltre, se \(A\) ha ordine pari a \(2\) con dei semplici conticini è presto
mostrato che tale relazione vale anche nei casi in cui si ha \[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - d & \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2} - d\right)d} \\\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2} - d\right)d} & d \end{pmatrix} \] per \(\forall\,d \in \left[0,\,\frac{1}{2}\right]\). Tutto ciò lo si potrà formalizzare, ma per farsi un'idea credo sia sufficiente.

Grazie mille per la risposta!
Ma esiste un teorema specifico? O è un qualcosa di generico?

[vict85]

La matrice non è antisimmetrica, le matrici antisimetriche si annullano sulla diagonale. Quello che ha è che \(\displaystyle A = \delta I + X \) dove \(\displaystyle X \) è antisimmetrica.

Dalla trasformazione si ricava che \begin{align} A^2 + AA^T =& (\delta I + X)(\delta I + X) + (\delta I + X)(\delta I + X)^T \\ =& \delta^2 I + X^2 + 2\delta X + (\delta I + X)(\delta I - X) \\
=& \delta^2 I + X^2 + 2\delta X + \delta^2 I - X^2 \\
=& 2\delta^2 I + 2\delta X \end{align} Perciò si deve avere \(\displaystyle 2\delta = 1 \). Da cui ricaviamo \(\displaystyle \delta = \frac12 \) come detto da TeM. Ma attenzione a non chiamarla antisimmetrica.

Ovviamente questo dimostra che se \(\displaystyle A = \frac12 I + X \) allora vale quella formula ma il viceversa è meno evidente.

Viceversa sia \(\displaystyle A \) tale che \(\displaystyle A(A + A^T) = A \). Distinguiamo due casi: \(\displaystyle A \) invertibile e \(\displaystyle A \) non invertibile.

Se \(\displaystyle A \) è invertibile allora \(\displaystyle A + A^T = A \). A questo punto possiamo estrarre la diagonale da \(\displaystyle A \) scrivendo \(\displaystyle A = D + Y \) dove \(\displaystyle Y \) ha la diagonale nulla e \(\displaystyle D \) è diagonale. Allora si ha che \(\displaystyle 2D + Y + Y^T = I \) che si divide nelle due equazioni matriciali indipendenti \(\displaystyle 2D = I \) e \(\displaystyle Y + Y^T = 0 \) da cui ricaviamo che \(\displaystyle D = \frac12 I \) e \(\displaystyle Y^T = -Y \). Cioè \(\displaystyle A \) deve avere la dorma presentata prima.

Se \(\displaystyle A \) è generica allora si ha che \(\displaystyle \mathrm{Im}(A + A^T - I) \subseteq \ker A \) che è più difficile da gestire del caso precedente. Il caso \(\displaystyle \det(A + A^T - I)\neq 0 \) è stato mostrato. Per il caso generico dovrei ragionarci sopra.