Proprietà distributiva dei vettori applicati
Ciao a tutti! Ho iniziato a studiare matematica seriamente solo da poco e peggio che mai da autodidatta! (presentazione)
Ciò che più mi mette in difficoltà sono le dimostrazioni, finchè leggo quelle fornite dal libro tutto va che è una meraviglia, ma, appena il libro mi chiede di dimostrare qualcosa da solo, vado in palla e riesco a risolvere alcune cose (anche banali) solo dopo averci ragionato molto tempo, rimanendo però col dubbio se siano esatte o meno.
Sto studiando sull'Abate ed ho un problema in un passaggio sulle dimostrazioni delle proprietà del prodotto di vettori applicati. Nella dimostrazione della proprietà distributiva dei vettori rispetto alla somma (\(\displaystyle \lambda (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) = \lambda\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} \)), dice che per O, A, B allineati la dimostrazione è banale. Certo, intuitivamente mi sembra banale anche a me, però come faccio a dimostrare che il vettore inviduato moltiplicando \(\displaystyle \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \) per \(\displaystyle \lambda \) coincide con \(\displaystyle \overrightarrow{OC'} = \lambda\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} \)?
Il problema è che non so proprio da dove partire o neanche se partire, visto che è una cosa intuitiva... quindi a parte il dubbio in questo caso specifico, il dubbio più generale diventa: nel fare una dimostrazione come stabilire cosa è autoevidente e cosa va sezionato in passaggi ancora più piccoli? A volte mi sembra che non si finisca mai per arrivare a cosa evidenti (intuitive sì, ma non così evidenti a partire da assiomi e definizioni
)
Grazie in anticipo
Ciò che più mi mette in difficoltà sono le dimostrazioni, finchè leggo quelle fornite dal libro tutto va che è una meraviglia, ma, appena il libro mi chiede di dimostrare qualcosa da solo, vado in palla e riesco a risolvere alcune cose (anche banali) solo dopo averci ragionato molto tempo, rimanendo però col dubbio se siano esatte o meno.
Sto studiando sull'Abate ed ho un problema in un passaggio sulle dimostrazioni delle proprietà del prodotto di vettori applicati. Nella dimostrazione della proprietà distributiva dei vettori rispetto alla somma (\(\displaystyle \lambda (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) = \lambda\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} \)), dice che per O, A, B allineati la dimostrazione è banale. Certo, intuitivamente mi sembra banale anche a me, però come faccio a dimostrare che il vettore inviduato moltiplicando \(\displaystyle \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \) per \(\displaystyle \lambda \) coincide con \(\displaystyle \overrightarrow{OC'} = \lambda\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} \)?
Il problema è che non so proprio da dove partire o neanche se partire, visto che è una cosa intuitiva... quindi a parte il dubbio in questo caso specifico, il dubbio più generale diventa: nel fare una dimostrazione come stabilire cosa è autoevidente e cosa va sezionato in passaggi ancora più piccoli? A volte mi sembra che non si finisca mai per arrivare a cosa evidenti (intuitive sì, ma non così evidenti a partire da assiomi e definizioni
)Grazie in anticipo
Risposte
Premetto che a me il testo di Abate non piace (ti consiglio Geometria 1 di Sernesi).
Diciamo che devi imparare (ed è una delle grandi difficoltà dell'autodidatta) a distinguere ciò che è veramente importante e ciò che "fa da contorno". La dimostrazione a cui ti riferisci non è importante, serve solo ad introdurti alla nozione di spazio vettoriale e alle proprietà che questo "oggetto" dovrà avere; se proprio vuoi puoi fare un disegno in cui mostri che la proprietà è verificata per una coppia di vettori nel piano e uno scalare $lambda$... Si vede poi che la cosa funziona in generale.
Per quanto riguarda l'evidenza: beh, pensa che un difetto che molti autori hanno sono le dimostrazioni stringate. Diciamo che se pensi sia il caso di spendere qualche parola in più perché quanto hai scritto non ti convince del tutto, allora vuol dire che il tuo ragionamento non è evidente.
"Lanus":
Il problema è che non so proprio da dove partire o neanche se partire, visto che è una cosa intuitiva... quindi a parte il dubbio in questo caso specifico, il dubbio più generale diventa: nel fare una dimostrazione come stabilire cosa è autoevidente e cosa va sezionato in passaggi ancora più piccoli? A volte mi sembra che non si finisca mai per arrivare a cosa evidenti (intuitive sì, ma non così evidenti a partire da assiomi e definizioni
Diciamo che devi imparare (ed è una delle grandi difficoltà dell'autodidatta) a distinguere ciò che è veramente importante e ciò che "fa da contorno". La dimostrazione a cui ti riferisci non è importante, serve solo ad introdurti alla nozione di spazio vettoriale e alle proprietà che questo "oggetto" dovrà avere; se proprio vuoi puoi fare un disegno in cui mostri che la proprietà è verificata per una coppia di vettori nel piano e uno scalare $lambda$... Si vede poi che la cosa funziona in generale.
Per quanto riguarda l'evidenza: beh, pensa che un difetto che molti autori hanno sono le dimostrazioni stringate. Diciamo che se pensi sia il caso di spendere qualche parola in più perché quanto hai scritto non ti convince del tutto, allora vuol dire che il tuo ragionamento non è evidente.
Sono consapevole che quella dimostrazione non è una parte importante, però sono anche curioso di capirla 
La dimostrazione è suddivisa in due casi:
1) O,A,B non allineati:
\(\displaystyle \overrightarrow{OA_1 }= \lambda \overrightarrow{OA} \) , \(\displaystyle \overrightarrow{OB_1} = \lambda \overrightarrow{OB} \) , \(\displaystyle \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \)
Facendo passare delle rette parallele per \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A_1 \) parallele a OB e utilizzando il teorema di talete, mostra che il vettore \(\displaystyle \overrightarrow{OC_1} \) è proporzionale a \(\displaystyle \overrightarrow{OC} \) di un fattore \(\displaystyle \lambda \), per cui è proprio \(\displaystyle \lambda \overrightarrow{OC} \).
Facendo passare delle rette parallele a \(\displaystyle \overrightarrow{OA} \) per \(\displaystyle C \) e \(\displaystyle C_1 \), esse intersecheranno la semiretta \(\displaystyle OB \) in \(\displaystyle B \) e in \(\displaystyle B_1' \).
Facendo notare, sempre attraverso il teorema di Talete, che \(\displaystyle OB_1' \) è proporzionale a \(\displaystyle OB \), dimostra che \(\displaystyle OB_1' \) è proprio \(\displaystyle OB_1 \). Quindi \(\displaystyle OA_1CB_1 \) è un parallelogramma ed è dimostrato che \(\displaystyle \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1} \).
2) O,A,B allineati:
Stando sulla stessa retta, non posso usare il teorema di Talete
O----->A--->B----->C------------------->\(\displaystyle A_1 \)------------->\(\displaystyle B_1 \)------------------------------------------>\(\displaystyle C_1 \)
(passatemi la rappresentazione rudimentale)
Più precisamente dovrei dimostrare che il segmento \(\displaystyle \overline{B_1C_1} \) (dove \(\displaystyle OC_1 \) è \(\displaystyle \lambda\overrightarrow{OC} \)) è congruente con \(\displaystyle \overline{OA_1} \) per convincermi del tutto. Certo, intuitivamente non vedo perchè non debba essere così, però mi piacerebbe dimostrarlo rigorosamente
Ah grazie, Il Sernesi non lo conoscevo, ora lo cerco! Dell'Abate cos'è che non ti piace?
La dimostrazione è suddivisa in due casi:
1) O,A,B non allineati:
\(\displaystyle \overrightarrow{OA_1 }= \lambda \overrightarrow{OA} \) , \(\displaystyle \overrightarrow{OB_1} = \lambda \overrightarrow{OB} \) , \(\displaystyle \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \)
Facendo passare delle rette parallele per \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A_1 \) parallele a OB e utilizzando il teorema di talete, mostra che il vettore \(\displaystyle \overrightarrow{OC_1} \) è proporzionale a \(\displaystyle \overrightarrow{OC} \) di un fattore \(\displaystyle \lambda \), per cui è proprio \(\displaystyle \lambda \overrightarrow{OC} \).
Facendo passare delle rette parallele a \(\displaystyle \overrightarrow{OA} \) per \(\displaystyle C \) e \(\displaystyle C_1 \), esse intersecheranno la semiretta \(\displaystyle OB \) in \(\displaystyle B \) e in \(\displaystyle B_1' \).
Facendo notare, sempre attraverso il teorema di Talete, che \(\displaystyle OB_1' \) è proporzionale a \(\displaystyle OB \), dimostra che \(\displaystyle OB_1' \) è proprio \(\displaystyle OB_1 \). Quindi \(\displaystyle OA_1CB_1 \) è un parallelogramma ed è dimostrato che \(\displaystyle \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1} \).
2) O,A,B allineati:
Stando sulla stessa retta, non posso usare il teorema di Talete
O----->A--->B----->C------------------->\(\displaystyle A_1 \)------------->\(\displaystyle B_1 \)------------------------------------------>\(\displaystyle C_1 \)
(passatemi la rappresentazione rudimentale)
Più precisamente dovrei dimostrare che il segmento \(\displaystyle \overline{B_1C_1} \) (dove \(\displaystyle OC_1 \) è \(\displaystyle \lambda\overrightarrow{OC} \)) è congruente con \(\displaystyle \overline{OA_1} \) per convincermi del tutto. Certo, intuitivamente non vedo perchè non debba essere così, però mi piacerebbe dimostrarlo rigorosamente
Ah grazie, Il Sernesi non lo conoscevo, ora lo cerco! Dell'Abate cos'è che non ti piace?
scusate avevo sbagliato a scrivere l'ultima parte, il che rendeva la domanda completamente senza senso 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo