Proprietà del determinante

[Lodosage]

svolgendo un esercizio sugli autovettori di una matrice 3x3 mi sono imbattuto in questa spiegazione:

"Sappiamo che un sistema omogeneo in tre incognite ammette altre (infinite) soluzioni
oltre a quella nulla se la matrice dei coefficienti ha rango minore di 3. Quindi T ha degli autovettori
se la matrice dei coefficienti determinata ha rango minore di tre, ovvero determinante nullo"

vorrei sapere di che proprietà del determinante si tratta...

[billyballo2123]

Tu vuoi trovare un valore $\lambda\in \mathbb{R}$ e un vettore $v\in\mathbb{R}^3$ tale che $L(v)=\lambda v$. Ovviamente richiedi che $v$ non sia il vettore nullo, perché altrimenti quella relazione è ovvia. La richiesta la puoi scrivere come $L(v)-(\lambda I)(v)=0$, oppure $(L-\lambda I)(v)=0$ ($I$ è la matrice identica). Dato che richiedi $v$ diverso dal vettore nullo, è equivalente richiedere che $Ker(L-\lambda I)$ non sia banale, e questo equivale a richiedere che il determinante della matrice $L-\lambda I$ sia nullo.

[Lodosage]

cosa significa il nucleo non banale e cosa c'entra con il rango?

[billyballo2123]

Bhè... queste sono cose che potresti anche trovare sui libri o su wikipedia!
Comunque "nucleo non banale" significa che il nucleo non è composto dal solo vettore nullo.
Inoltre per il teorema della dimensione, dato un endomorfismo la dimensione del nucleo e il rango sommati devono dare la dimensione del sottospazio (in questo caso $3$). Dunque dire nucleo non banale è come dire rango minore di $3$.