Proprietà dei vettori di $RR^2$
Mi si chiede se è vero che per ogni vettore v di $RR^2$ vale che il prodotto scalare di f(v) e v è sempre $>0$
Ora,svolgendo tutti i calcoli formali arrivo a $3x^2+5y^2+8xy$ , e in teoria dovrei cercare le soluzioni della disequazione : $3x^2+5y^2+8xy>0$ ...ma non credo proprio che l'esercizio volesse questo,nel senso la strada da seguire è un'altra,ma quale?
Ora,svolgendo tutti i calcoli formali arrivo a $3x^2+5y^2+8xy$ , e in teoria dovrei cercare le soluzioni della disequazione : $3x^2+5y^2+8xy>0$ ...ma non credo proprio che l'esercizio volesse questo,nel senso la strada da seguire è un'altra,ma quale?
Risposte
Chi è \(\displaystyle f \) ? Una qualsiasi applicazione lineare? Se è così, quanto domandi mi sembra falso. Basta prendere l'applicazione di matrice \[\displaystyle A=\alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(f)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] ed il vettore \[\displaystyle e_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Si ha che \[\displaystyle f(e_{2})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =e_{1}\] e \[\displaystyle e_{1} \cdot e_{2} =0 \] in quanto trattasi appunto di vettori ortonormali.
Edit. Vedo adesso che la tua disequazione ha dei coefficienti particolari, quindi suppongo di aver soltanto sprecato fiato e tempo visto che come minimo hai una matrice e non l'hai scritta, in barba a regolamento e buon senso.
Si ha che \[\displaystyle f(e_{2})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =e_{1}\] e \[\displaystyle e_{1} \cdot e_{2} =0 \] in quanto trattasi appunto di vettori ortonormali.
Edit. Vedo adesso che la tua disequazione ha dei coefficienti particolari, quindi suppongo di aver soltanto sprecato fiato e tempo visto che come minimo hai una matrice e non l'hai scritta, in barba a regolamento e buon senso.
Scusami,ma nell'esercizio c'erano molti punti e per la fretta effettivamente ho dimenticato la traccia.
L'applicazione lineare f è associata alla matrice $ ( ( 1 , 2 ),( 2 , 3 ) ) $
L'applicazione lineare f è associata alla matrice $ ( ( 1 , 2 ),( 2 , 3 ) ) $
Se la matrice è quella, la disequazione in due variabili da (eventualmente) risolvere è un'altra: dato \(\displaystyle {}^{t}(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \) si ha \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x + 3y \end{pmatrix}\] da cui \[\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x + 3y \end{pmatrix}=x^2 + 2xy + 2xy + 3y^2=x^2 + 4xy + 3y^2 \qquad [1] \]
E' assai probabile che ci sia una via più furba da battere, ma al momento non mi viene in mente altro se non la seguente cosa: provare a vedere se esistono valori di \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) per i quali quell'espressione si annulla.
Risolvendo la \(\displaystyle [1] \) (posta \(\displaystyle =0 \)) in \(\displaystyle x \) si ha che \(\displaystyle \Delta=16y^2 - 12y^2 = 4y^2 \ge 0 \ \forall y \in \mathbb{R} \). Si ha quindi \[\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4y \pm 2y}{2}=-2y \pm y \] al variare di \(\displaystyle y \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Test. Per \(\displaystyle y=1 \) è \(\displaystyle x=-3 \); \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \] e \[\displaystyle \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}=0 \]
E' assai probabile che ci sia una via più furba da battere, ma al momento non mi viene in mente altro se non la seguente cosa: provare a vedere se esistono valori di \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) per i quali quell'espressione si annulla.
Risolvendo la \(\displaystyle [1] \) (posta \(\displaystyle =0 \)) in \(\displaystyle x \) si ha che \(\displaystyle \Delta=16y^2 - 12y^2 = 4y^2 \ge 0 \ \forall y \in \mathbb{R} \). Si ha quindi \[\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4y \pm 2y}{2}=-2y \pm y \] al variare di \(\displaystyle y \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Test. Per \(\displaystyle y=1 \) è \(\displaystyle x=-3 \); \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \] e \[\displaystyle \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}=0 \]
E quindi deduciamo che la proprietà non è sempre vera...
Esattamente.
@ Mifert: secondo me il testo dell'esercizio è sbagliato. Avresti dovuto scrivere " $\forall v \in RR^2 \setminus \{ 0 \}$ ", perché per $v = 0$ hai che quel prodotto scalare è $0$ e l'esercizio diventa banale.
"Seneca":
@ Mifert: secondo me il testo dell'esercizio è sbagliato. Avresti dovuto scrivere " $\forall v \in RR^2 \setminus \{ 0 \}$ ", perché per $v = 0$ hai che quel prodotto scalare è $0$ e l'esercizio diventa banale.
No no, il testo è proprio quello,e a questo punto ho capito che l'esercizio non pretende di arrivare all'equazione,ma evidentemente si basa proprio sulla banalità del caso $v=0$
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