Proprietà dei generatori di spazi vettoriali

[Andrea902]

Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio su una dimostrazione riguardo le proprietà dei generatori di spazi vettoriali.

Teorema: Sia $V$ un $K$-spazio vettoriale finitamente generato, ossia tale che $V=$ e supponiamo che uno dei generatori vi $V$ sia combinazione lineare dei precedenti: $v_i=b_1v_1-b_2v_2+...+b_(i-1)v_(i-1)$. Allora: $V=

Dimostrazione
Lascio perdere i dettagli di tutta la dimostrazione. Il problema è quando provo l'implicazione: $sube$. Considero un vettore del primo spazio:
$v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_(i-1)v_(i-1)+a_iv_i+a_(i+1)v_(i+1)+...+a_nv_n$. Ricordando che per ipotesi si ha: $v_i=b_1v_1+b_2v_2+...+b_(i-1)v_(i-1)$ e sostituendo nella precedente uguaglianza si ottiene: $v=(a_1+b_1)v_1+(a_2+b_2)v_2+...+(a_(i-1)+b_(i-1))v_(i-1)+a_(i+1)v_(i+1)+...+a_nv_n$.

Non ho chiaro il passaggio della sostituzione, poichè se sostituisco, devo moltiplicare il vettore $v_i$ per il coefficiente $a_i$ ma nel risultato il coefficiente $a_i$ non compare. Perchè?

[misanino]

"Andrea90":Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio su una dimostrazione riguardo le proprietà dei generatori di spazi vettoriali.

Teorema: Sia $V$ un $K$-spazio vettoriale finitamente generato, ossia tale che $V=$ e supponiamo che uno dei generatori vi $V$ sia combinazione lineare dei precedenti: $v_i=b_1v_1-b_2v_2+...+b_(i-1)v_(i-1)$. Allora: $V=

Dimostrazione
Lascio perdere i dettagli di tutta la dimostrazione. Il problema è quando provo l'implicazione: $sube$. Considero un vettore del primo spazio:
$v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_(i-1)v_(i-1)+a_iv_i+a_(i+1)v_(i+1)+...+a_nv_n$. Ricordando che per ipotesi si ha: $v_i=b_1v_1+b_2v_2+...+b_(i-1)v_(i-1)$ e sostituendo nella precedente uguaglianza si ottiene: $v=(a_1+b_1)v_1+(a_2+b_2)v_2+...+(a_(i-1)+b_(i-1))v_(i-1)+a_(i+1)v_(i+1)+...+a_nv_n$.

Non ho chiaro il passaggio della sostituzione, poichè se sostituisco, devo moltiplicare il vettore $v_i$ per il coefficiente $a_i$ ma nel risultato il coefficiente $a_i$ non compare. Perchè?

Si' che compare. Sono sbagliati i conti.
Viene $v=(a_1+a_ib_1)v_1+(a_2+a_ib_2)v_2+...+(a_(i-1)+a_ib_(i-1))v_(i-1)+a_(i+1)v_(i+1)+...+a_nv_n$ e comunque la conclusione resta identica

[Andrea902]

Infatti! Mi sembrava troppo strano!
Grazie!

[Andrea902]

Dato che siamo in tema. Vorrei provare le seguenti proposizioni, supposto che $V$ sia un $K$-spazio vettoriale e $v_1,v_2,...,v_ninV$ linearmente indipendenti:
1) $v_1,v_2,...,v_r$ ($r<=n$) sono linearmente indipendenti;
2) se $rnnn ={0_V}$, cioè la somma di questi due sottospazi è diretta.

Come posso procedere? La dimostrazione magari la stendo io... mi interessa sapere l'idea che devo seguire.
vi ringrazio ancora!

[misanino]

"Andrea90":Dato che siamo in tema. Vorrei provare le seguenti proposizioni, supposto che $V$ sia un $K$-spazio vettoriale e $v_1,v_2,...,v_ninV$ linearmente indipendenti:
1) $v_1,v_2,...,v_r$ ($r<=n$) sono linearmente indipendenti;
2) se $rnnn ={0_V}$, cioè la somma di questi due sottospazi è diretta.

Come posso procedere? La dimostrazione magari la stendo io... mi interessa sapere l'idea che devo seguire.
vi ringrazio ancora!

Il primo è immediato.
Supponiamo infatti per assurdo che $v_1,v_2,...,v_r$ siano linearmente dipendenti.
Allora esistono $a_1,a_2,....,a_r$ $in\RR$ non tutti nulli tali che $a_1v_1+....+a_rv_r=0$
Perciò $a_1v_1+....+a_rv_r+0v_(r+1)+...+0v_n=0$ e quindi $v_1,...,v_n$ sono linearmente dipendenti. Assurdo

Per il secondo, sempre per assurdo, se esiste un elemento non nullo che appartiene all'intersezione dei 2 sottospazi, allora esso si può scrivere come combinazione lineare a coefficienti non nulli di entrambi e quindi la differenza di tali combinazioni è 0, ma i coefficienti non sono tutti nulli. Assurdo

[Andrea902]

Alla fine ero arrivato anche io a dimostrare la prima proposizione, seguendo la stassa traccia.
Resta invece qualche dubbio riguardo la seconda:

"misanino": Per il secondo, sempre per assurdo, se esiste un elemento non nullo che appartiene all'intersezione dei 2 sottospazi, allora esso si può scrivere come combinazione lineare a coefficienti non nulli di entrambi e quindi la differenza di tali combinazioni è 0, ma i coefficienti non sono tutti nulli. Assurdo

In particolare non ho ben chiara l'affermazione:

"misanino": quindi la differenza di tali combinazioni è 0, ma i coefficienti non sono tutti nulli. Assurdo

[Andrea902]

Ho ripensato all'ultima dimostrazione. La differenza delle due combinazioni deve essere pari a 0 perchè si tratta di combinazioni lineari che danno luogo al medesimo vettore. Giusto?
Quello che non ho capito a fondo è l'esigenza di avere tutti i coefficienti nulli. Deriva dall'ipotesi secondo cui i vettori assegnati sono linearmente indipendenti?

Vi ringrazio ancora per l'attenzione prestatami.