Prolungamento lineare

[Ryuzaky*]

Devo risolvere il seguente esercizio:
Sia $f:R^3\rightarrow R^3$ l'applicazione tale che
$f(1,1,0)=(-1,2,1)$
$f(0,1,1)=(-1,3,2)$
$f(0,1,0)=(0,1,0)$
Per calcolare il prolungamento lineare metto in colonna i vettori delle immagini trovando così la matrice rappresentativa dell'applicazione rispetto alla base $B=(1,1,0),(0,1,1),(0,1,0)$ e alla base canonica di arrivo e moltiplico per il vettore componenti del generico vettore $(x,y,z)$ rispetto alla suddetta base.
Quindi ottengo che la mia matrice rappresentativa è la seguente: $((-1,-1,0),(2,3,1),(1,2,0))$ da cui calcolo il prolungamento seguente: $f(x,y,z)=(-x-2z,x+y+2z,x+2z)$. A questo punto il problema mi chiede di trovare la dimensione e una base per ogni autospazio dell'applicazione. Per risolvere questo punto faccio un pò di confusione, devo utilizzare la matrice $((-1,-1,0),(2,3,1),(1,2,0))$ oppure quella che ricavo dal prolungamento lineare, ovvero. $((-1,0,-2),(1,1,2),(1,0,2))$ ?? Il libro utilizza la seconda ma sinceramente non capisco il perchè. Qualcuno puo chiarirmi le idee ?

[Ryuzaky*]

Nessuno può darmi una mano ?