Proiezioni stereografiche
Ciao a tutti.. Vi chiedo di aiutarmi con questo esercizio perchè tra il fatto che è in inglese ed il fatto che questo argomento mi è ancora non chiaro non capisco che devo fare:
Data la proiezione stereografica di [tex]S^2[/tex] sul piano z=0 tale che :
[tex]N1 : S^2 - {(0,0,1)} ----> R2[/tex] tale che [tex](x, y, z) ---->( x/ (1-z) , y/ (1 - z )) = (u1, u2)[/tex]
[tex]S1 : S^2 - {(0,0,-1)} -----> R2[/tex] tale che [tex](x, y, z) ---> ( x/ (1+z) , y/ (1+z) ) = (v1, v2)[/tex]
La domanda é :" Find the expression for effect of the change of coordinates [tex](u1, u2) ---> (v1, v2)[/tex] on the vector fields [tex]d/d u_j[/tex] , i.e. calculate explicitly the components in the formula [tex]d / d_u = sum ((d v^k / d u^j)* (d / d v^k))[/tex] .
Deduce from this expression that both vector fields [d / d u^j] a priori only defined on S2 \ {(0,0,1)}, extend smoothly to the north pole, where they have a zero."
Nella formula si intende la somma per k da 1 a 2 ovviamente ma non sapevo scriverlo. Potete aiutarmi?
Data la proiezione stereografica di [tex]S^2[/tex] sul piano z=0 tale che :
[tex]N1 : S^2 - {(0,0,1)} ----> R2[/tex] tale che [tex](x, y, z) ---->( x/ (1-z) , y/ (1 - z )) = (u1, u2)[/tex]
[tex]S1 : S^2 - {(0,0,-1)} -----> R2[/tex] tale che [tex](x, y, z) ---> ( x/ (1+z) , y/ (1+z) ) = (v1, v2)[/tex]
La domanda é :" Find the expression for effect of the change of coordinates [tex](u1, u2) ---> (v1, v2)[/tex] on the vector fields [tex]d/d u_j[/tex] , i.e. calculate explicitly the components in the formula [tex]d / d_u = sum ((d v^k / d u^j)* (d / d v^k))[/tex] .
Deduce from this expression that both vector fields [d / d u^j] a priori only defined on S2 \ {(0,0,1)}, extend smoothly to the north pole, where they have a zero."
Nella formula si intende la somma per k da 1 a 2 ovviamente ma non sapevo scriverlo. Potete aiutarmi?
Risposte
Nessun aiuto? Vi prego, non capisco proprio che devo fare 
Denoterò con [tex]\displaystyle X,Y[/tex] le coordinate canoniche su [tex]\displaystyle \mathbb{R}^2[/tex] e con [tex]\displaystyle N,S[/tex] rispettivamente il polo Nord e il polo Sud di [tex]\displaystyle S^2[/tex].
Sia [tex]\displaystyle f:U\to\mathbb{R}[/tex] un'applicazione differenziabile definita su un aperto [tex]\displaystyle U[/tex]. Ragioniamo sulla prima proiezione stereografica [tex]\displaystyle \varphi:S^2\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2[/tex] con funzioni componenti [tex]\displaystyle u^1,u^2:S^2\setminus\{N\}\to\mathbb{R}[/tex].
Dalla definizione di derivata parziale, si ha che su [tex]\displaystyle (S^2\setminus\{N\})\cap U[/tex] valgono
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u^1}=\frac{\partial (f\circ\varphi^{-1})}{\partial X}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u^2}=\frac{\partial (f\circ\varphi^{-1})}{\partial Y}[/tex]
Osserva che [tex]\displaystyle f\circ\varphi^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/tex] e quindi puoi calcolarne le derivate parziali.
Detto questo, secondo me, devi applicare questa definizione per il calcolo di [tex]\displaystyle \frac{\partial v^k}{\partial u^j}[/tex]. Ti ricordo che le [tex]\displaystyle v^k[/tex] sono applicazioni definite sull'aperto [tex]\displaystyle S^2\setminus\{S\}[/tex].
Otterrai così esplicitamente l'espessione dei due campi vettoriali [tex]\displaystyle \frac{\partial}{\partial u^j}[/tex], ([tex]\displaystyle j=1,2[/tex]) scritti come combinazione dei [tex]\displaystyle \frac{\partial}{\partial v^k}[/tex] su [tex]\displaystyle S^2\setminus\{N,S\}[/tex].
Da qui dovresti dedurre che i campi [tex]\displaystyle \frac{\partial}{\partial u^j}[/tex] possono essere estesi differenziabilmente anche al polo Nord.
Sia [tex]\displaystyle f:U\to\mathbb{R}[/tex] un'applicazione differenziabile definita su un aperto [tex]\displaystyle U[/tex]. Ragioniamo sulla prima proiezione stereografica [tex]\displaystyle \varphi:S^2\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2[/tex] con funzioni componenti [tex]\displaystyle u^1,u^2:S^2\setminus\{N\}\to\mathbb{R}[/tex].
Dalla definizione di derivata parziale, si ha che su [tex]\displaystyle (S^2\setminus\{N\})\cap U[/tex] valgono
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u^1}=\frac{\partial (f\circ\varphi^{-1})}{\partial X}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u^2}=\frac{\partial (f\circ\varphi^{-1})}{\partial Y}[/tex]
Osserva che [tex]\displaystyle f\circ\varphi^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/tex] e quindi puoi calcolarne le derivate parziali.
Detto questo, secondo me, devi applicare questa definizione per il calcolo di [tex]\displaystyle \frac{\partial v^k}{\partial u^j}[/tex]. Ti ricordo che le [tex]\displaystyle v^k[/tex] sono applicazioni definite sull'aperto [tex]\displaystyle S^2\setminus\{S\}[/tex].
Otterrai così esplicitamente l'espessione dei due campi vettoriali [tex]\displaystyle \frac{\partial}{\partial u^j}[/tex], ([tex]\displaystyle j=1,2[/tex]) scritti come combinazione dei [tex]\displaystyle \frac{\partial}{\partial v^k}[/tex] su [tex]\displaystyle S^2\setminus\{N,S\}[/tex].
Da qui dovresti dedurre che i campi [tex]\displaystyle \frac{\partial}{\partial u^j}[/tex] possono essere estesi differenziabilmente anche al polo Nord.
Grazie, però devo chiederti qualche precisazione perchè non ho ben capito.. La [tex]f[/tex] che funzione è?
Forse mi sono espresso male. La [tex]f[/tex] è una generica applicazione differenziabile. Ti ho ricordato cosa si intende per [tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u^j}[/tex].
Devi applicare la definizione che ti ho dato nel caso [tex]f=v^k[/tex] (con [tex]k=1,2[/tex]) e calcolare [tex]\displaystyle \frac{\partial v^k}{\partial u^j}[/tex].
Devi applicare la definizione che ti ho dato nel caso [tex]f=v^k[/tex] (con [tex]k=1,2[/tex]) e calcolare [tex]\displaystyle \frac{\partial v^k}{\partial u^j}[/tex].
Devi scusarmi ma sto andando completamente nel pallone oggi.. Io trovo [tex]\displaystyle v^1 \circ\varphi^{-1} = ( {u_1 * (1-z)} /{1+z} , {u_2 * (1-z)} /{1+z})[/tex] . Rispetto cosa li derivo?
Tranquillo/a, non ci sono problemi.
Non ho capito come hai calcolato [tex]v^1\circ\varphi^{-1}[/tex].
Dovresti calcolare prima [tex]\varphi^{-1}:\mathbb{R}^2\to S^2\setminus\{N\}[/tex] (è la funzione inversa di [tex]\varphi[/tex], dovrebbe essere facile calcolarla) e poi comporre con [tex]v^1[/tex].
Dovresti ottenere una funzione del tipo
[tex](v^1\circ\varphi^{-1})(X,Y)=....[/tex]
che puoi derivare rispetto a [tex]X[/tex], ottenendo [tex]\displaystyle \frac{\partial v^1}{\partial u^1}[/tex].
Non ho capito come hai calcolato [tex]v^1\circ\varphi^{-1}[/tex].
Dovresti calcolare prima [tex]\varphi^{-1}:\mathbb{R}^2\to S^2\setminus\{N\}[/tex] (è la funzione inversa di [tex]\varphi[/tex], dovrebbe essere facile calcolarla) e poi comporre con [tex]v^1[/tex].
Dovresti ottenere una funzione del tipo
[tex](v^1\circ\varphi^{-1})(X,Y)=....[/tex]
che puoi derivare rispetto a [tex]X[/tex], ottenendo [tex]\displaystyle \frac{\partial v^1}{\partial u^1}[/tex].
Scusami ancora, ho rifatto tutto. La funzione mi viene:
[tex](v^1\circ\varphi^{-1} ) (X,Y) = { 2X ( 2 + X^2 + Y^2) } / { 1 + X^2 + Y^}[/tex]
[tex](v^1\circ\varphi^{-1} ) (X,Y) = { 2X ( 2 + X^2 + Y^2) } / { 1 + X^2 + Y^}[/tex]
Avevo sbagliato il conto, comunque ora l'ho rifatto ed ho trovato :
[tex]\dispaystyle \frac {\partial}{\partial u^1} = \frac {4 Y^2 -4 X^2}{(2 X^2 + 2 Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^1} + \frac {-4 X}{(2 X^2 + 2 Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^2}[/tex]. è plausibile? però poi che ne ricavo?
[tex]\dispaystyle \frac {\partial}{\partial u^1} = \frac {4 Y^2 -4 X^2}{(2 X^2 + 2 Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^1} + \frac {-4 X}{(2 X^2 + 2 Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^2}[/tex]. è plausibile? però poi che ne ricavo?
Scusami se insisto, ma non capisco proprio.. anche risostituendo le coordinate di [tex]S^2[/tex] comunque non posso estenderla perchè avrei 0 al denominatore, no?
Ci ho riflettuto un po' ma non riesco a venirne a capo.
Ecco i miei risultati, confrontali con i tuoi:
Per ogni [tex]\displaystyle (X,Y)\in\mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\displaystyle \varphi^{-1}(X,Y)=\left(\frac{2X}{X^2+Y^2+1},\frac{2Y}{X^2+Y^2+1},\frac{X^2+Y^2-1}{X^2+Y^2+1}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle (v^1\circ\varphi^{-1})(X,Y)=\frac{X}{X^2+Y^2}[/tex]
[tex]\displaystyle (v^2\circ\varphi^{-1})(X,Y)=\frac{Y}{X^2+Y^2}[/tex]
Da cui derivando ho ottenuto più o meno (controlla!) quello che hai ottenuto tu
[tex]\displaystyle \frac {\partial}{\partial u^1} = \frac {Y^2 -X^2}{(X^2 + Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^1} + \frac {-2XY}{(X^2 + Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^2}[/tex]
Ricordando che [tex]\displaystyle X=\frac{x}{1-z}[/tex] e [tex]\displaystyle Y=\frac{y}{1-z}[/tex], si ottiene che
[tex]\displaystyle \frac {\partial}{\partial u^1} = \frac {(y^2-x^2)(1-z)^2}{(x^2 + y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^1} + \frac {-2xy(1-z)^2}{(x^2 + y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^2}[/tex]
Ora le due funzioni componenti, come ci aspettavamo, non sono definite in [tex]\displaystyle (x,y,z)=(0,0,1)=N[/tex]. Sinceramente io speravo che fossero comunque estendibili per continuità anche in [tex]\displaystyle N[/tex] e il loro limite fosse [tex]\displaystyle 0[/tex], ma evidentemente non è così.
Ora, secondo me, si presenta una (o entrambe) delle seguenti possibilità: ho sbagliato i conti oppure manca ancora qualche tassello al mio ragionamento.
Ecco i miei risultati, confrontali con i tuoi:
Per ogni [tex]\displaystyle (X,Y)\in\mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\displaystyle \varphi^{-1}(X,Y)=\left(\frac{2X}{X^2+Y^2+1},\frac{2Y}{X^2+Y^2+1},\frac{X^2+Y^2-1}{X^2+Y^2+1}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle (v^1\circ\varphi^{-1})(X,Y)=\frac{X}{X^2+Y^2}[/tex]
[tex]\displaystyle (v^2\circ\varphi^{-1})(X,Y)=\frac{Y}{X^2+Y^2}[/tex]
Da cui derivando ho ottenuto più o meno (controlla!) quello che hai ottenuto tu
[tex]\displaystyle \frac {\partial}{\partial u^1} = \frac {Y^2 -X^2}{(X^2 + Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^1} + \frac {-2XY}{(X^2 + Y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^2}[/tex]
Ricordando che [tex]\displaystyle X=\frac{x}{1-z}[/tex] e [tex]\displaystyle Y=\frac{y}{1-z}[/tex], si ottiene che
[tex]\displaystyle \frac {\partial}{\partial u^1} = \frac {(y^2-x^2)(1-z)^2}{(x^2 + y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^1} + \frac {-2xy(1-z)^2}{(x^2 + y^2)^2} \frac {\partial}{\partial v^2}[/tex]
Ora le due funzioni componenti, come ci aspettavamo, non sono definite in [tex]\displaystyle (x,y,z)=(0,0,1)=N[/tex]. Sinceramente io speravo che fossero comunque estendibili per continuità anche in [tex]\displaystyle N[/tex] e il loro limite fosse [tex]\displaystyle 0[/tex], ma evidentemente non è così.
Ora, secondo me, si presenta una (o entrambe) delle seguenti possibilità: ho sbagliato i conti oppure manca ancora qualche tassello al mio ragionamento.
Nel frattempo io ho pensato di prendere un'altra strada, pero' mi sa che e' un vicolo cieco.. Io potrei rivedere [tex] \displaystyle \frac {\partial x_1} {\partial u_1}\frac {\partial x_1} {\partial u_2}\frac {\partial x_2} {\partial u_1}\frac {\partial x_2} {\partial u_1} [\tex] in forma marticiale come la matrice inversa di [tex] \frac {\partial u_1} {\partial x_1}\frac {\partial u_1} {\partial x_2}\frac {\partial u_2} {\partial x_1}\frac {\partial u_2} {\partial x_2} [\tex]. Poi riscrivere [tex] u_1 , u_2 [\tex] in funzione di X,Y e calcolare la derivata rispetto [tex] u_1 [\tex] in funzione delle derivate di X, Y. Pero' non credo vada bene..
Ops, mi dispiace per il messaggio precedente,non so perche' non me lo ha convertito..
Nel frattempo io ho pensato di prendere un'altra strada, pero' mi sa che e' un vicolo cieco.. Io potrei rivedere [tex]\displaystyle \frac {\partial x_1} {\partial u_1}\frac {\partial x_1} {\partial u_2}\frac {\partial x_2} {\partial u_1}\frac {\partial x_2} {\partial u_1}[/tex] in forma marticiale come la matrice inversa di [tex]\frac {\partial u_1} {\partial x_1}\frac {\partial u_1} {\partial x_2}\frac {\partial u_2} {\partial x_1}\frac {\partial u_2} {\partial x_2}[/tex]. Poi riscrivere [tex]u_1 , u_2[/tex] in funzione di X,Y e calcolare la derivata rispetto [tex]u_1[/tex] in funzione delle derivate di X, Y. Pero' non credo vada bene.. ( ps: grazie per il suggerimento 
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