Proiezioni stereografica
Ciao a tutti, mi sto perdendo su questo argomento: se si considera la sfera di dimensione $1$ ($S_1$) una proiezione stereografica è un omeomorfismo $f: S_1-{N}~=RR$, dove $N=(0,1)$. ma come vengono modificate le coordinate di un punto $(x,y)$ da $f$ e da $f^(-1)$?
Non mi è per nulla chiaro.
Grazie
Non mi è per nulla chiaro.
Grazie
Risposte
\( \newcommand{\pt}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \)Facciamolo in dimensione \( 2 \).
Embedda \( \mathbb C \) in \( \mathbb R^3 \), identificandolo con il piano \( \pi\colon x_3 = 0 \). Puoi definire la proiezione stereografica \( f\colon\mathbb S^2\setminus\{N\}\to\mathbb C \) di \( \mathbb S^2 \) su \( \mathbb C \) come segue: ad ogni punto \( y = \pt{y_1\\y_2\\y_3} \) della sfera, associa l'intersezione della retta \( N\vee y \) passante per il "polo nord" \( N = \pt{0\\0\\1} \) e per \( y \) con il piano \( \pi \).
Allora, sai che il punto \( x = \pt{x_1\\x_2\\x_3} = N - t(y - N) \) di \( N\vee y \) ha la terza coordinata nulla se e solo se... i calcoli sono per gli ingegneri, prrr!
Per verificare la continuità: hai che \( y_3\neq 1 \) sempre (perché \( y\in\mathbb S^2\setminus\{N\} \)), quindi \( f \) è composizione di funzioni continue.
Allo stesso modo puoi trovare un'inversa \( g\colon\mathbb C\to\mathbb S^2\setminus\{N\} \) e provare che è continua.
Embedda \( \mathbb C \) in \( \mathbb R^3 \), identificandolo con il piano \( \pi\colon x_3 = 0 \). Puoi definire la proiezione stereografica \( f\colon\mathbb S^2\setminus\{N\}\to\mathbb C \) di \( \mathbb S^2 \) su \( \mathbb C \) come segue: ad ogni punto \( y = \pt{y_1\\y_2\\y_3} \) della sfera, associa l'intersezione della retta \( N\vee y \) passante per il "polo nord" \( N = \pt{0\\0\\1} \) e per \( y \) con il piano \( \pi \).
Allora, sai che il punto \( x = \pt{x_1\\x_2\\x_3} = N - t(y - N) \) di \( N\vee y \) ha la terza coordinata nulla se e solo se... i calcoli sono per gli ingegneri, prrr!
Per verificare la continuità: hai che \( y_3\neq 1 \) sempre (perché \( y\in\mathbb S^2\setminus\{N\} \)), quindi \( f \) è composizione di funzioni continue.
Allo stesso modo puoi trovare un'inversa \( g\colon\mathbb C\to\mathbb S^2\setminus\{N\} \) e provare che è continua.
Diciamo che nel caso bidimensionale un pochino capisco...ma il caso unidimensionale, paradossalmente, lo trovo molto più difficile e per questo non riesco a capire come agisce...da cui la domanda
\( \newcommand{\pt}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \)Ma è roba che si può fare al l*ceo! La circonferenza goniometrica ha equazione \( x_1^2 + x_2^2 = 1 \); prendi \( y = \pt{y_1\\y_2} \) in \( \mathbb S^1 \): la retta che passa per \( N = \pt{0\\1} \) e \( y \) la sai determinare? Sai determinare l'intersezione di \( N\vee y \) con \( r\colon x_1 = 0 \)?
O... sono io che non ho capito che cosa non ti riesce?
O... sono io che non ho capito che cosa non ti riesce?
Facile che non stia capendo io...
Dovrei trovare le "equazioni" che generano questa proiezione stereografica nel caso della sfera $S_1$
Dovrei trovare le "equazioni" che generano questa proiezione stereografica nel caso della sfera $S_1$
"marco2132k":
\( \newcommand{\pt}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \)Ma è roba che si può fare al l*ceo! La circonferenza goniometrica ha equazione \( x_1^2 + x_2^2 = 1 \); prendi \( y = \pt{y_1\\y_2} \) in \( \mathbb S^1 \): la retta che passa per \( N = \pt{0\\1} \) e \( y \) la sai determinare? Sai determinare l'intersezione di \( N\vee y \) con \( r\colon x_1 = 0 \)?
O... sono io che non ho capito che cosa non ti riesce?
Tuttavia anche ragionando cosi non sto capendo molto(di certo è colpa mia)... cioè $y$ sarebbe un vettore?
Dovrei calcolare l'intersezione tra $N$ e $y$ e poi tra quello che si ottiene dall'intersezione e $x_1=0$?
Ma sarebbe tutto a livello vettoriale?
\( \newcommand{\pt}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \)Considera un punto generico \( y = \pt{y_1\\y_2} \) di \( \mathbb S^1 \). Sei d'accordo che l'equazione di \( N\vee y \) è \( \frac{x_2 - 1}{y_1 - 1} = \frac{x_1}{y_2} \)? Ora. Sai determinare l'intersezione \( (N\vee y)\cap r \)? Mostra i conti.
P.s. Nota che "gli assi \( x \) e \( y \)" io li chiamo rispettivamente "assi \( x_1 \) e \( x_2 \)". Forse è questo che ti confonde...
P.p.s. \( N\vee y \) è un modo di indicare la retta passante per \( N \) e \( y \).
P.p.p.s. Il "livello vettoriale" è più vicino all'intuizione geometrica. Comunque in dimensione \( 1 \) anche usando il linguaggio dell'algebra lineare è difficile visualizzare l'immagine \( f_*\mathbb S^1 \) (a meno che non usi i colori).
P.s. Nota che "gli assi \( x \) e \( y \)" io li chiamo rispettivamente "assi \( x_1 \) e \( x_2 \)". Forse è questo che ti confonde...
P.p.s. \( N\vee y \) è un modo di indicare la retta passante per \( N \) e \( y \).
P.p.p.s. Il "livello vettoriale" è più vicino all'intuizione geometrica. Comunque in dimensione \( 1 \) anche usando il linguaggio dell'algebra lineare è difficile visualizzare l'immagine \( f_*\mathbb S^1 \) (a meno che non usi i colori).
$(x_2-1)/(y_1-1)=x_1/y_2$
Ora $r:x_1=0$ da cui dunque
$x_2-1=0$ cioè $x_2=1$
Però non sto capendo quali sia la funzione $f$ e quale sia $f^(-1)$ che compongono l'omeomorfismo e come agiscono sui punti $(x,y)$
Ora $r:x_1=0$ da cui dunque
$x_2-1=0$ cioè $x_2=1$
Però non sto capendo quali sia la funzione $f$ e quale sia $f^(-1)$ che compongono l'omeomorfismo e come agiscono sui punti $(x,y)$
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