Proiezioni di un vettore ( decomposizione in somma diretta)
ciao a tutti !! ho un problema con un esercizio stupido! ma non so come risolverlo..
Determinare la proiezione su W di 2e1 + 3e2 + e3 + 2e4 rispetto alla decomposizione rr^4 = W+Z ( con il + si indica somma diretta ) con
$ W= { x in RR^(4) : x1+x2-2x3=2x1+x3-x4=0} $ $ Z= { x in RR^(4) : x1+2x2+x3=x2+3x3-x4=0} $
il risultato e' 2e1 + e3 + e4 ...
qualcuno puo' aiutarmi ??
Determinare la proiezione su W di 2e1 + 3e2 + e3 + 2e4 rispetto alla decomposizione rr^4 = W+Z ( con il + si indica somma diretta ) con
$ W= { x in RR^(4) : x1+x2-2x3=2x1+x3-x4=0} $ $ Z= { x in RR^(4) : x1+2x2+x3=x2+3x3-x4=0} $
il risultato e' 2e1 + e3 + e4 ...
qualcuno puo' aiutarmi ??
Risposte
nel modo più semplice:
1-Trova una base di W, ovvero $ { ( 1,-1,0,2 ) ; ( 0 , 2 , 1 , 1 ) } $
2-La ortonormalizzi tramite il procedimento di Gram-Schmidt, e ottieni $ { u1 = 1 / sqrt(6) * (1,-1,0,2) ; u2 = 1 / sqrt(6) * (0,2,1,1) } $
3-A questo punto determini la proiezione ortogonale di $ v=(2,3,1,2) $ in direzione dei versori della base ortonormale di W :
$ o1 = (u1 * v)u1 = 1 / 2 * (1,-1,0,2)$
$ o2 = (u2 * v)u2 = 3 / 2 * (0,2,1,1)$
4-La proiezione del tuo vettore su W è la somma $ p = o1+o2 = (1/2,5/2,3/2,5/2) $
Spero di non aver sbagliato calcoli, ma il procedimento è quello, spero di esserti stato d'aiuto.
1-Trova una base di W, ovvero $ { ( 1,-1,0,2 ) ; ( 0 , 2 , 1 , 1 ) } $
2-La ortonormalizzi tramite il procedimento di Gram-Schmidt, e ottieni $ { u1 = 1 / sqrt(6) * (1,-1,0,2) ; u2 = 1 / sqrt(6) * (0,2,1,1) } $
3-A questo punto determini la proiezione ortogonale di $ v=(2,3,1,2) $ in direzione dei versori della base ortonormale di W :
$ o1 = (u1 * v)u1 = 1 / 2 * (1,-1,0,2)$
$ o2 = (u2 * v)u2 = 3 / 2 * (0,2,1,1)$
4-La proiezione del tuo vettore su W è la somma $ p = o1+o2 = (1/2,5/2,3/2,5/2) $
Spero di non aver sbagliato calcoli, ma il procedimento è quello, spero di esserti stato d'aiuto.
[mod="Martino"]Appavito, ti chiedo formalmente di mettere il titolo in minuscolo (clicca su "modifica" nel tuo intervento). Per il futuro, per favore proponi tue elaborazioni, come da regolamento. Leggi con attenzione questa pagina. Grazie.[/mod]
? dici ? ma come mai il risultato e' diverso??? Il risultato e' 2e1 + e3 + e4 .... dici che e' in funzione della base scelta??????
ho trovato questo:
Proiezioni. Quello che abbiamo detto si riduce ad un paio di osservazioni. Innanzitutto per
poter de nire sui vettori di uno spazio vettoriale U il concetto di proiezione P sopra un sottospazio
vettoriale V lungo un altro sottospazio vettoriale W è necessario che U sia la somma diretta dei
suoi sottospazi V e W. Questo vuol dire che ogni vettore di U si esprime in modo unico come
somma di un vettore di V e di uno di W. La maniera comoda per controllare che sia cosi, nel
caso in cui U abbia dimensione fi nita, e che V intersezione W = (0); dim V +dimW = dimU. Se vale questa
scomposizione di U in somma diretta, allora per proiettare un vettore u appartenente ad U, prima lo scompongo
(in modo unico!) come v + w; v appartiene a W e w appartiene a W, e poi tengo soltanto la componente v. In altre
parole P(u) = v. E' allora chiaro che i vettori di V vengono proiettati su se stessi, mentre quelli
di W vengono mandati a zero.
il programma di questo esame ( algebra 1) non include la ortonormalizzazione ( ALGEBRA 2) e credo ci sia un metodo piu semplice.. tipo sistema...
che ne pensi al riguardo? nota: nel testo ''(in modo unico!) come v + w; v appartiene a W e w appartiene a W, '' non so se v appartiene a W sia errore..
ho trovato questo:
Proiezioni. Quello che abbiamo detto si riduce ad un paio di osservazioni. Innanzitutto per
poter de nire sui vettori di uno spazio vettoriale U il concetto di proiezione P sopra un sottospazio
vettoriale V lungo un altro sottospazio vettoriale W è necessario che U sia la somma diretta dei
suoi sottospazi V e W. Questo vuol dire che ogni vettore di U si esprime in modo unico come
somma di un vettore di V e di uno di W. La maniera comoda per controllare che sia cosi, nel
caso in cui U abbia dimensione fi nita, e che V intersezione W = (0); dim V +dimW = dimU. Se vale questa
scomposizione di U in somma diretta, allora per proiettare un vettore u appartenente ad U, prima lo scompongo
(in modo unico!) come v + w; v appartiene a W e w appartiene a W, e poi tengo soltanto la componente v. In altre
parole P(u) = v. E' allora chiaro che i vettori di V vengono proiettati su se stessi, mentre quelli
di W vengono mandati a zero.
il programma di questo esame ( algebra 1) non include la ortonormalizzazione ( ALGEBRA 2) e credo ci sia un metodo piu semplice.. tipo sistema...
che ne pensi al riguardo? nota: nel testo ''(in modo unico!) come v + w; v appartiene a W e w appartiene a W, '' non so se v appartiene a W sia errore..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo