Proiezione su un covesso chiuso
ciao a tutti avrei un esercizio da segnalarvi.
sia $E=L^2 (I)$ con $I=[0,1]$ dotato della sua struttura hilbertiana standard.
sia $K={f\in E:\f(x)=ax\: \text{con}\ a\in RR}$
determinare la proiezione di una generica $f\in E$ su $K$.
bene io so che detta $u$ tale proiezione la $u$ è tale che soddisfa questa relazione (poichè K è un sottospazio)
$\int_I (u-f)w=0$ per ogni $w\in K$ e ovviamente $u\in K$
ma come faccio a determinare $u$ ? cioè io ho svolto così
$u=ax$ e $w=bx$ (con $b$ diverso da zero ovviamente)
allora $\int_I (ax-f(x))bx=0$ implica che $a/3=\int_I f(x) *x$ e ma da qui che ottengo???
sia $E=L^2 (I)$ con $I=[0,1]$ dotato della sua struttura hilbertiana standard.
sia $K={f\in E:\f(x)=ax\: \text{con}\ a\in RR}$
determinare la proiezione di una generica $f\in E$ su $K$.
bene io so che detta $u$ tale proiezione la $u$ è tale che soddisfa questa relazione (poichè K è un sottospazio)
$\int_I (u-f)w=0$ per ogni $w\in K$ e ovviamente $u\in K$
ma come faccio a determinare $u$ ? cioè io ho svolto così
$u=ax$ e $w=bx$ (con $b$ diverso da zero ovviamente)
allora $\int_I (ax-f(x))bx=0$ implica che $a/3=\int_I f(x) *x$ e ma da qui che ottengo???
Risposte
Ottieni che $a=3\int_0^1 xf(x)dx$ che ti dà la proiezione su $K$ di $f$, che quindi è data da $u(x)=3x\int_0^1tf(t)dt$.
a ok e finisce cosi? bene. grazie
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