Proiezione su un convesso chiuso in un Hilbert
Deve essere una cosa ovvia, ma non riesco a vederla...
Sia $H$ uno spazio di Hilbert. E' risaputo che se $K subseteq H$ è un sottoinsieme chiuso e convesso, allora per ogni $h in H$ esiste un unico elemento $u in K$ che ha distanza minima da $H$ (è la proiezione di $h$ su $K$). Ebbene, tale $u$ è caratterizzato dal fatto che [tex]\langle h-u, v-u \rangle \le 0, \quad \forall v \in K[/tex], dove con [tex]\langle \cdot, \cdot\rangle[/tex] si indica ovviamente il prodotto interno su $H$.
Diamo per buono questo (meraviglioso) fatto e aumentiamo il tiro: se aggiungiamo alle ipotesi che $K$ è un sottospazio possiamo dire qualcosa in più? La risposta è sì. Preso $h in H$, esiste ed è unica la proiezione ortogonale di $h$ su $K$ e la indicheremo sempre con $u$. Ora $u$ è caratterizzato dal fatto che [tex]\langle h-u, v \rangle = 0, \quad \forall v \in K[/tex].
Come provare tale caratterizzazione? Supponiamo $u=P_{K}(h)$ (le notazioni dovrebbero essere chiare). Allora per il fatto che ho illustrato sopra [tex]\langle h-u, v-u \rangle \le 0, \quad \forall v \in K[/tex]; il caro Brezis suggerisce di notare che vale anche [tex]\langle h-u, tv-u \rangle \le 0, \quad \forall v \in K, \, \forall t \in \mathbb{R}[/tex] (perché $K$ è un sottospazio) e da qui deduce l'asserto.
Qualcuno mi illumina? E' un po' che ci penso, francamente mi sembra scemo... bisognerà scegliere un $t$ o un $v$ opportuno, ma non vedo quale.
Grazie.
P.S: meglio qui o in Analisi?
Sia $H$ uno spazio di Hilbert. E' risaputo che se $K subseteq H$ è un sottoinsieme chiuso e convesso, allora per ogni $h in H$ esiste un unico elemento $u in K$ che ha distanza minima da $H$ (è la proiezione di $h$ su $K$). Ebbene, tale $u$ è caratterizzato dal fatto che [tex]\langle h-u, v-u \rangle \le 0, \quad \forall v \in K[/tex], dove con [tex]\langle \cdot, \cdot\rangle[/tex] si indica ovviamente il prodotto interno su $H$.
Diamo per buono questo (meraviglioso) fatto e aumentiamo il tiro: se aggiungiamo alle ipotesi che $K$ è un sottospazio possiamo dire qualcosa in più? La risposta è sì. Preso $h in H$, esiste ed è unica la proiezione ortogonale di $h$ su $K$ e la indicheremo sempre con $u$. Ora $u$ è caratterizzato dal fatto che [tex]\langle h-u, v \rangle = 0, \quad \forall v \in K[/tex].
Come provare tale caratterizzazione? Supponiamo $u=P_{K}(h)$ (le notazioni dovrebbero essere chiare). Allora per il fatto che ho illustrato sopra [tex]\langle h-u, v-u \rangle \le 0, \quad \forall v \in K[/tex]; il caro Brezis suggerisce di notare che vale anche [tex]\langle h-u, tv-u \rangle \le 0, \quad \forall v \in K, \, \forall t \in \mathbb{R}[/tex] (perché $K$ è un sottospazio) e da qui deduce l'asserto.
Qualcuno mi illumina? E' un po' che ci penso, francamente mi sembra scemo... bisognerà scegliere un $t$ o un $v$ opportuno, ma non vedo quale.
Grazie.
P.S: meglio qui o in Analisi?
Risposte
Dato $K$ sottospazio, prendiamo un $w in K$, e vogliamo far vedere che $ "" =0$ sapendo che $\ <=0$ $AA v in K$.
Scelgo $v = w +u $ che sicuramente $in K$ visto che è sottospazio. Allora ho che $ <=0$.
Scelgo $v = -w + u$ che di nuovo sta sicuramente $in K$, e ho che $ <=0$ da cui $ >=0$
Confrontando le due ho la tesi.
Spero di non aver scritto qualcosa di stupido
Scelgo $v = w +u $ che sicuramente $in K$ visto che è sottospazio. Allora ho che $
Scelgo $v = -w + u$ che di nuovo sta sicuramente $in K$, e ho che $
Confrontando le due ho la tesi.
Spero di non aver scritto qualcosa di stupido
Grazie mille!
Mi pare funzioni, dovevo essere proprio cotto per non vedere una roba del genere!
Mi pare funzioni, dovevo essere proprio cotto per non vedere una roba del genere!
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