Proiezione su iperpiano
Salve a tutti, devo determinare l'applicazione \(\displaystyle \pi : R^3 \longrightarrow H \) che è la proiezione ortogonale sull'iperpiano \(\displaystyle H : x_1 + x_2 - x_3 = 0 \).
Non so come fare, cioè, io pensavo che si potesse fare così, ma non so se è corretto:
Determino una base di H, e questa è \(\displaystyle v_1 = ( 1; -1; 0 ) v_2 = ( 0; -1; -1 ) v_3 = ( +1; 0; +1 ) \). Adesso proietto ogni vettore della base canonica di \(\displaystyle R ^ 3 \) su ognuno dei vettori della base di H, faccio la somma, ed ottengo la proiezione di ogni vettore della base canonica, svolgendo questi conti ottengo:
\(\displaystyle \pi ( e ^ 1 ) = ( 1/2; -1/2; 0 ) \)
\(\displaystyle \pi ( e ^ 2 ) = ( -1/2; 1; 1/2 ) \)
\(\displaystyle \pi ( e ^ 3 ) = ( 0; 1/2; 1/2 ) \)
Allora la matrice associata all'applicazione lineare é:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
1/2&-1/2&0\\
-1/2&1&1/2\\
0&1/2&1/2\\
\end{pmatrix}
\)
Aiutatemi sto impazzendo
Non so come fare, cioè, io pensavo che si potesse fare così, ma non so se è corretto:
Determino una base di H, e questa è \(\displaystyle v_1 = ( 1; -1; 0 ) v_2 = ( 0; -1; -1 ) v_3 = ( +1; 0; +1 ) \). Adesso proietto ogni vettore della base canonica di \(\displaystyle R ^ 3 \) su ognuno dei vettori della base di H, faccio la somma, ed ottengo la proiezione di ogni vettore della base canonica, svolgendo questi conti ottengo:
\(\displaystyle \pi ( e ^ 1 ) = ( 1/2; -1/2; 0 ) \)
\(\displaystyle \pi ( e ^ 2 ) = ( -1/2; 1; 1/2 ) \)
\(\displaystyle \pi ( e ^ 3 ) = ( 0; 1/2; 1/2 ) \)
Allora la matrice associata all'applicazione lineare é:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
1/2&-1/2&0\\
-1/2&1&1/2\\
0&1/2&1/2\\
\end{pmatrix}
\)
Aiutatemi sto impazzendo
Risposte
Un piano ha dimensione \(2\) per cui non può avere una base formata da \(3\) vettori linearmente indipendenti. In effetti \(v_3 = v1 - v2\) nella tua "base". Quello che si può fare è piuttosto scegliere una base di \(H\) (per esempio \(v_1\) e \(v_2\)) e poi estendere questa base ad una base di \(\mathbb R^3\) prendendo un vettore normale al piano (per esempio \(n = (1, 1, -1)\). A questo punto puoi pensare di mandare ogni vettore dalla base canonica a questa nuova base e poi ignorare l'ultima componente..
In alternativa, se vuoi avere la tua mappa come applicazione da \(\mathbb R^3\) in se stesso la cui immagine è \(H\), puoi anche osservare che \(\pi(v) = v - \operatorname*{proj}_n v \), dove \(\operatorname*{proj}_n v\) è ovviamente la proiezione di \(v\) sul vettore normale \(n\).
In alternativa, se vuoi avere la tua mappa come applicazione da \(\mathbb R^3\) in se stesso la cui immagine è \(H\), puoi anche osservare che \(\pi(v) = v - \operatorname*{proj}_n v \), dove \(\operatorname*{proj}_n v\) è ovviamente la proiezione di \(v\) sul vettore normale \(n\).
Si scusa ho scritto troppo, avevo due vettori ovviamente, non tre. Ho fuso due basi 
Nel caso io abbia due vettori, fai conti i primi due, il ragionamento è corretto? ( proiettando i 3 vettori della canonica sui due della base di H )
Nel caso io abbia due vettori, fai conti i primi due, il ragionamento è corretto? ( proiettando i 3 vettori della canonica sui due della base di H )
Ah no ora ho capito. La base su H deve essere ortonormale! Giusto?
Non necessariamente. Avere una base ortonormale semplifica (di molto) i calcoli, ma non è una condizione necessaria alla risoluzione dell'esercizio. Se tu hai la matrice che manda il tuo spazio in una base in cui i primi due vettori sono una base sul piano e l'altro è ad esso normale, puoi semplicemente eliminare la terza riga della matrice (o colonna a seconda di come moltiplichi i vettori con le matrici) ottenendo quindi una matrice che ti manda ogni vettore di \(\mathbb R^3 \) nelle coordinate sul piano della loro proiezione (nella base che hai scelto).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo