Proiezione stereografica

[5mrkv]

Dato il passaggio di una retta dal polo nord \((0,1)\) di \(\mathbb{S}^{1}\) ed un altro suo punto voglio sapere dove questa retta interseca il piano \(\mathbb{R}\times\{0\}\). Il punto deve essere espresso in funzione delle coordinate di \(\mathbb{S}^{1}\). Il punto generico di \(\mathbb{R}\times\{0\}\) è \((z,0)\) mentre le coordinate del cerchio unitario sono ad esempio \(x_{1}=(1-x_{2}^{2})^{1/2},x_{2}=(1-x_{1}^{2})^{1/2}\). L'equazione della retta è
\[
\begin{split}
y_{1}(t)&=z+t(0-z)=z(1-t) \\
y_{2}(t)&=0+t(1-0)=t
\end{split}
\]
Vincolando il passaggio per un punto di \(\mathbb{S}^{1}\) vorrei ricavare \(z=z(x_{1},x_{2})\) quindi
\[
\begin{split}
(1-x_{2}^{2})^{1/2}&=z(1-t) \\
(1-x_{1}^{2})^{1/2}&=t
\end{split}
\]
ottenendo
\[
(z,0)=\left (\frac{(1-x_{2}^{2})^{1/2}}{1-(1-x_{1}^{2})^{1/2}},0\right)
\]
Sul mio libro come proiezione da \(\)
\[
(f(x_{1},x_{2}),0)=\left (\frac{x_{1}}{1-x_{2}},0\right )
\]
Mah.

[5mrkv]

Bon, sono scemo. E' la stessa formula.

[5mrkv]

Se a qualcuno interessa la formula inversa: Imponendo il passaggio per \((0,1),(x_{0},x_{1})\) trovo
\[
\begin{split}
y_{1}(t)&=0+t(x_{0}-0)=tx_{0} \\
y_{2}(t)&=1+t(x_{1}-1)=1+t(x_{1}-1)
\end{split}
\]
E quindi ponendo \(y_{1}(t)=z,y_{2}(t)=0\) ho \(tx_{0}=z\Rightarrow t=z/x_{0}\) e
\[
\begin{split}
0&=1+z(x_{1}-1)/x_{0} \\
-1&=z(x_{1}-1)/x_{0} \\
-x_{0}&=z(x_{1}-1) \\
-x_{0}/z&=(1-x_{0}^{2})^{1/2}-1 \\
-x_{0}/z+1&=(1-x_{0}^{2})^{1/2} \\
(1-x_{0}/z)^2&=1-x_{0}^{2} \\
1-2x_{0}/z+x_{0}^{2}/z^{2}&=1-x_{0}^{2} \\
-2x_{0}/z+x_{0}^{2}/z^{2}+x_{0}^{2}&=0 \\
x_{0}(-2/z+x_{0}/z^{2}+x_{0})&=0 \\
x_{0}&=0 \\
-2/z+x_{0}/z^{2}+x_{0}&=0 \\
x_{0}(1/z^{2}+1)&=2/z \\
2z^{-1}(z^{-2}+1)^{-1}&=x_{0} \\
\end{split}
\]
Quindi
\[
\frac{2}{z}\frac{1}{\frac{1}{z^{2}}+1}=2\frac{1}{\frac{1}{z}+z}=2\frac{1}{\frac{z^{2}+1}{z}}=2z\frac{1}{1+z^{2}}=x_{0}
\]
e \(x_{1}=(1-x_{0}^{2})^{1/2}\). La generalizzazione su \(\mathbb{S}^{n}\) è facile e la proiezione e la sua inversa servono per costruire un omeomorfismo fra \(\mathbb{S}^{n}-(...,0,0,1)\) e \(\mathbb{R}^{n}\).