Proiezione punto su piano in R4

[Lucamate]

Salve a tutti! Vi chiedo aiuto sull'esercizio 4, in particolare punto c, di questo tema d'esame: http://www.math.unipd.it/~bottacin/esami/20130619A.pdf

Per quanto riguarda il punto a e b nessun problema nel determinare le equazioni dei piani richieste. Il punto C richiede di indicare la proiezione ortogonale di un punto P fornito sul piano appena trovato nel punto b. Sotto esame, non volendo utilizzare il metodo più laborioso con la determinazione dei punti attraverso combinazione dei vari vettori del piano ecc, ho pensato questo: ricavo un vettore n perpendicolare al piano (il piano era descritto da due equazioni e i coefficienti di una fornivano un vettore perpendicolare come cercato), ricavo la retta passante per P e con vettore direttore n (X = P + a*n) ottenendo le equazioni cartesiane corrispondenti, faccio l'intersezione tra le equazioni del piano e della retta. Il professore mi ha detto che è sbagliato il procedimento poichè siamo in R4 non in R3. Qualche idea a riguardo?

Grazie mille dell'aiuto

[Quinzio]

Siccome sei in $RR^4$, lo spazio ortogonale al piano non è più solo una retta (un vettore), ma è un piano.
La somma delle dimensioni dei due spazi ortogonali deve darti la dimensione dello spazio che li contiene.

[Lucamate]

Grazie mille!