Proiezione punti di una conica
Salve, chiedo aiuto dopo vari tentativi di risolvere il seguente esercizio:In A3(R) si determini un’equazione cartesiana del luogo geometrico L delle rette che proiettano i punti della conica C : x^2+y^2+z^2-3=y-1=0 dal punto V=(1,0,2).
Ho provato a trovare il generico punto P che soddisfi l'equazione e a me risulta P=(1,1,1) poi dovrei scrivere le rette per P con direzione V(1,0,2) ma mi blocco. Grazie mille in anticipo!
Ho provato a trovare il generico punto P che soddisfi l'equazione e a me risulta P=(1,1,1) poi dovrei scrivere le rette per P con direzione V(1,0,2) ma mi blocco. Grazie mille in anticipo!
Risposte
La conica C é in effetti una circonferenza ( intersezione di un piano con una superficie sferica)
e quindi proiettandone i punti da V si otterrà una superficie conica di vertice V.
Per avere le equazioni di tale figura cominciamo con eliminare la variabile y dalle equazioni della circonfereza:
\begin{cases} x^2+z^2=2\\y=1 \end{cases}
Le equazioni parametriche di questa nuova curva possono essere:
\begin{cases} x=\sqrt2cost\\y=1\\z=\sqrt2sint\end{cases}
Scriviamo ora le equazioni della retta che unisce il punto dato $V(1,0,2)$ col punto $P (\sqrt2cost,1,sqrt2sint)$
generico della curva trovata ( retta che è poi la generatrice generica della superficie da trovare) e si ha:
\begin{cases}x=1+k(\sqrt2cost-1)\\y=k\\z=2+k(\sqrt2sint-2)\end{cases}
Eliminando le variabili di appoggio $k,t$ si ottiene l'equazione voluta:
$x^2+3y^2+z^2+2xy+4yz-2x-10y-4z+5=0$
P.S. Controlla i calcoli, per favore...
e quindi proiettandone i punti da V si otterrà una superficie conica di vertice V.
Per avere le equazioni di tale figura cominciamo con eliminare la variabile y dalle equazioni della circonfereza:
\begin{cases} x^2+z^2=2\\y=1 \end{cases}
Le equazioni parametriche di questa nuova curva possono essere:
\begin{cases} x=\sqrt2cost\\y=1\\z=\sqrt2sint\end{cases}
Scriviamo ora le equazioni della retta che unisce il punto dato $V(1,0,2)$ col punto $P (\sqrt2cost,1,sqrt2sint)$
generico della curva trovata ( retta che è poi la generatrice generica della superficie da trovare) e si ha:
\begin{cases}x=1+k(\sqrt2cost-1)\\y=k\\z=2+k(\sqrt2sint-2)\end{cases}
Eliminando le variabili di appoggio $k,t$ si ottiene l'equazione voluta:
$x^2+3y^2+z^2+2xy+4yz-2x-10y-4z+5=0$
P.S. Controlla i calcoli, per favore...
"sandroroma":
La conica C é in effetti una circonferenza ( intersezione di un piano con una superficie sferica)
e quindi proiettandone i punti da V si otterrà una superficie conica di vertice V.
Per avere le equazioni di tale figura cominciamo con eliminare la variabile y dalle equazioni della circonfereza:
\begin{cases} x^2+z^2=2\\y=1 \end{cases}
Le equazioni parametriche di questa nuova curva possono essere:
\begin{cases} x=\sqrt2cost\\y=1\\z=\sqrt2sint\end{cases}
Scriviamo ora le equazioni della retta che unisce il punto dato $V(1,0,2)$ col punto $P (\sqrt2cost,1,sqrt2sint)$
generico della curva trovata ( retta che è poi la generatrice generica della superficie da trovare) e si ha:
\begin{cases}x=1+k(\sqrt2cost-1)\\y=k\\z=2+k(\sqrt2sint-2)\end{cases}
Eliminando le variabili di appoggio $k,t$ si ottiene l'equazione voluta:
$x^2+3y^2+z^2+2xy+4yz-2x-10y-4z+5=0$
P.S. Controlla i calcoli, per favore...
Ciao sandroroma, innanzitutto grazie mille, il risultato coincide con quello dato dal testo, volevo chiederti due cose; probabilmente sarà una banalità, ma come fai a trovare che x e z sono rispettivamente coseno e seno di t? inoltre nella sistema finale, k lo vedo come y, ma come si esplicita t ? Grazie infinite in anticipo
L'equazione $x^2+z^2=2$ si può scrivere anche come :$(x/\sqrt2)^2+(
z/\sqrt2)^2=1$
In questo modo l'equazione diventa come quella nota $\cos^2t+\sin^2t=1$, basterà porre:
$x/\sqrt2=\cost,z/\sqrt2=\sint$.
Da qui si ha appunto :$x=\sqrt2\cost,z=\sqrt2\sint$
A questo punto dalle equazioni della retta VP già trovata si possono ricavare $\cost$ e $\sint$.
Precisamente risulta:
$\cost=(x+y-1)/{y\sqrt2},\sint={2y+z-1}/{y\sqrt2}$
Elevando al quadrato entrambe le equazioni, sommando e tenendo conto che $\sin^2t+\cos^2t=1$ si ha :
$1={(x+y-1)/{y\sqrt2}}^2+{{2y+z-1}/{y\sqrt2}}^2$
Sviluppando i calcoli hai l'equazione della superficie.
z/\sqrt2)^2=1$
In questo modo l'equazione diventa come quella nota $\cos^2t+\sin^2t=1$, basterà porre:
$x/\sqrt2=\cost,z/\sqrt2=\sint$.
Da qui si ha appunto :$x=\sqrt2\cost,z=\sqrt2\sint$
A questo punto dalle equazioni della retta VP già trovata si possono ricavare $\cost$ e $\sint$.
Precisamente risulta:
$\cost=(x+y-1)/{y\sqrt2},\sint={2y+z-1}/{y\sqrt2}$
Elevando al quadrato entrambe le equazioni, sommando e tenendo conto che $\sin^2t+\cos^2t=1$ si ha :
$1={(x+y-1)/{y\sqrt2}}^2+{{2y+z-1}/{y\sqrt2}}^2$
Sviluppando i calcoli hai l'equazione della superficie.
Tutto chiaro ora, gentilissimo !
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