Proiezione ortogonali, dubbio.

[pimofthe]

Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia W ⊂ V un suo sottospazio. Chiamiamo w la proiezione ortogonale di v su W. Se dim(V)=n e dim(W) = k e se B = {e1,...,ek} una base ortonormale di W , segue che

w= $ sum_( i= 1 )^( k) $ ⟨w,ei⟩ei = $ sum_( i= 1 )^( k) $ ⟨v,ei⟩ei

La mia domanda é questa: w non dovrebbe avere n componenti e non k?

[cirasa]

Se $w$ è in $W$ allora potrà esprimersi come combinazione lineare di una base di $W$ ovvero come combinazione di $(e_1,...,e_k)$.
Perciò $k$ componenti.

Ciò non toglie che $w$, essendo anche un vettore di $V$ ha $n$ componenti (naturalmente rispetto ad una base di $V$).