Proiezione ortogonale in uno spazio vettoriale qualsiasi
Ciao.
Ho uno spazio vettoriale V con una norma $||$.$||$. W è un sottospazio di V.
Come definisco la proiezione ortogonale su W?
Questo potrebbe funzionare:
se $v in V$ allora $p in W$ è la proiezione di v su W se $||v-p||=min_{w in W}||v-w||$
Cioè prendo il vettore "più vicino" a v tra gli elementi di W. Intuitivamente funziona ma non ne sono sicuro.
Può andare?
Nota: Sulla wiki la proiezione la definisce partendo da una base ortonormale, insomma la fa troppo facile. Nel mio caso non funziona bene anche perchè il mio spazio ha dimensione infinita e diventerebbe troppo complicato.
Ho uno spazio vettoriale V con una norma $||$.$||$. W è un sottospazio di V.
Come definisco la proiezione ortogonale su W?
Questo potrebbe funzionare:
se $v in V$ allora $p in W$ è la proiezione di v su W se $||v-p||=min_{w in W}||v-w||$
Cioè prendo il vettore "più vicino" a v tra gli elementi di W. Intuitivamente funziona ma non ne sono sicuro.
Può andare?
Nota: Sulla wiki la proiezione la definisce partendo da una base ortonormale, insomma la fa troppo facile. Nel mio caso non funziona bene anche perchè il mio spazio ha dimensione infinita e diventerebbe troppo complicato.
Risposte
Può andare?
Purtroppo no.
Per definire la proiezione ortogonale lo spazio deve essere di Hilbert (in questo caso il tuo sistema funziona)
In caso contrario si possono costruire esempi di sottospazi chiusi che non ammettono propiezione continua su di essi
(come si dice "non sono complementabili")
Sì, avevo dimenticato di dirlo. Lo spazio è di Hilbert.
Per essere precisi mi serve che funzioni più che altro su L^2
Per essere precisi mi serve che funzioni più che altro su L^2
Cmq grazie e...buona colazione! 
"Megan00b":
Cmq grazie e...buona colazione!
Grazie - certo che andarsi a leggere il forum alle sette di mattina comincia ad avere tratti patologici...
Comunque se lo spazio è di Hilbert l'esistenza delle proiezioni è un teorema classico che si fa proprio prendendo
i punti di minima distanza.
Ciao
Per il Teorema delle proiezioni ortogonali su un sottospazio chiuso puoi vedere Rudin, Analisi Reale e Complessa, cap. 4, Teorema 4.11; oppure Brezis, Analisi Funzionale - teoria ed applicazioni, cap. V, Corollario V.4.
Tutto sommato è un risultato semplice. Basta prendere una successione $(y_n) subset M$, con $M$ sottospazio chiuso (o, più generalmente, convesso chiuso), che minimizzi $f(y)=||x-y||$ e provare che essa è di Cauchy (si fa applicando l'identità del parallelogramma) e poi si prova l'unicità del punto di minimo per $f$ sfruttando la stretta convessità dello spazio di Hilbert; fatto ciò puoi chiamare proiezione di $x$ su $M$ l'unico punto $P_Mx in M$ che gode della proprietà $||x-P_Mx||=min_M f=min_(y in M) ||x-y||$ (esso per quanto detto sopra è il limite comune di tutte le possibili successioni minimizzanti $f$).
Si prova agilmente che l'applicazione $P_M:H to M$ è lineare e che non aumenta le distanze; inoltre si riconosce pure in maniera simpatica che $AA y in M, \langle x-P_Mx,y \rangle =0$ ossia che $Q_Mx=x-P_Mx in M^\bot$; pure $Q_M:H to M^\bot$ è lineare e non aumenta le distanze.
Tutto sommato è un risultato semplice. Basta prendere una successione $(y_n) subset M$, con $M$ sottospazio chiuso (o, più generalmente, convesso chiuso), che minimizzi $f(y)=||x-y||$ e provare che essa è di Cauchy (si fa applicando l'identità del parallelogramma) e poi si prova l'unicità del punto di minimo per $f$ sfruttando la stretta convessità dello spazio di Hilbert; fatto ciò puoi chiamare proiezione di $x$ su $M$ l'unico punto $P_Mx in M$ che gode della proprietà $||x-P_Mx||=min_M f=min_(y in M) ||x-y||$ (esso per quanto detto sopra è il limite comune di tutte le possibili successioni minimizzanti $f$).
Si prova agilmente che l'applicazione $P_M:H to M$ è lineare e che non aumenta le distanze; inoltre si riconosce pure in maniera simpatica che $AA y in M, \langle x-P_Mx,y \rangle =0$ ossia che $Q_Mx=x-P_Mx in M^\bot$; pure $Q_M:H to M^\bot$ è lineare e non aumenta le distanze.
Grazie ad entrambi. Ho consultato il Rudin ed ora che mi cullo fra le sue braccia non temo più alcun male. 
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