Proiezione ortogonale di r sul piano che passa per un punto?
Data la retta r : x= 1+t y= 2-3t z= -3+3t trovare la sua proiezione ortogonale sul piano per C(3,0,1) perpendicolare all'asse z.
Posso prima trovare il piano conoscendo z che è perpendicolare al piano poichè z: x=0, y=0. Per il piano, indicando con x0 y0 e z0 le coordinate di C, dovrei fare a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)=0 dove a,b e c sono i coefficienti di x,y e z dell'asse z giusto? Ma x e y sono uguali a 0! quindi rimane c(z-1) e non so andare avanti perchè nn riesco a capire cosa devo mettere al posto di c... devo parametrizzare l'equazione di z?
Posso prima trovare il piano conoscendo z che è perpendicolare al piano poichè z: x=0, y=0. Per il piano, indicando con x0 y0 e z0 le coordinate di C, dovrei fare a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)=0 dove a,b e c sono i coefficienti di x,y e z dell'asse z giusto? Ma x e y sono uguali a 0! quindi rimane c(z-1) e non so andare avanti perchè nn riesco a capire cosa devo mettere al posto di c... devo parametrizzare l'equazione di z?
Risposte
Sposto in Geometria ...
scusate... cmq poete aiutarmi? ho l'esame martedi e sono preoccupato
"pinodoc":
Data la retta r : x= 1+t y= 2-3t z= -3+3t trovare la sua proiezione ortogonale sul piano per C(3,0,1) perpendicolare all'asse z.
Posso prima trovare il piano conoscendo z che è perpendicolare al piano poichè z: x=0, y=0. Per il piano, indicando con x0 y0 e z0 le coordinate di C, dovrei fare a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)=0 dove a,b e c sono i coefficienti di x,y e z dell'asse z giusto? Ma x e y sono uguali a 0! quindi rimane c(z-1) e non so andare avanti perchè nn riesco a capire cosa devo mettere al posto di c... devo parametrizzare l'equazione di z?
a, b e c sono le componenti di un vettore normale al piano, quindi nel tuo caso a=0, b=0, c=1 va bene e l'equazione
$a (x - 3) + b (y - 0) + c (z -1) = 0$ si riduce a $z = 1$ Sembra banale ma è proprio così
L'intersezione della retta con il piano la trovi ricavando il valore del parametro t che rende $z = 1$, e cioé $t = \frac{4}{3}$
Quindi il punto di intersezione è $x = 1+t= \frac{7}{3}, y=2-3t = -2, z= 1$
La proiezione ortogonale della retta sul piano passerà per questo punto di intersezione e avrà direzione...
pensavo stessi sbagliando per l'equazione del piano 
menomale 
ma la proiezione la devo esprimere come equazione di una retta k passa per il punto trovato e direzione uguale a un vettore parallelo alla retta r? cioè con v(1,-3,3) e P0 (7/3,-2,1) = 1(x-7/3) -3(y+2) +3(z-3)=0..... giusto?
menomale ma la proiezione la devo esprimere come equazione di una retta k passa per il punto trovato e direzione uguale a un vettore parallelo alla retta r? cioè con v(1,-3,3) e P0 (7/3,-2,1) = 1(x-7/3) -3(y+2) +3(z-3)=0..... giusto?
No, se fosse parallelo alla retta r come farebbe a giacere sul piano z=1 ?
Per proiettare il vettore $v=(1,-3,3)$, che è parallelo a r, sul piano $z=1$ devi togliergli la componente perpendicolare al piano. Dai che non è difficile: la normale al piano la conosci.
Per proiettare il vettore $v=(1,-3,3)$, che è parallelo a r, sul piano $z=1$ devi togliergli la componente perpendicolare al piano. Dai che non è difficile: la normale al piano la conosci.
quindi togliendoli la componente perpendicolare diventa 1(x-7/3) -3(y+2)=0 ?
la proiezione ortogonale significa trovare l'equazione che regola l'ortogonalità tra la retta e il piano?
Dato un piano di versore normale n, qualsiasi vettore v può essere espresso come somma di un vettore normale al piano e di un vettore parallelo al piano: $v = v_n + v_p$
La componente normale al piano la ottieni come $v_n = (v \cdot n) n$ dove $\cdot$ è il prodotto scalare; quindi $v_p = v - v_n$
Nel tuo caso, $n = (0, 0, 1)$, $v= (1, -3, 3)$, $v_n = (0, 0, 3)$, $v_p = (1, -3, 0)$. Poi l'equazione parametrica della proiezione di r sul piano sarà $P(t) = C + v_p t$.
Però i conti avresti dovuto farli tu
La componente normale al piano la ottieni come $v_n = (v \cdot n) n$ dove $\cdot$ è il prodotto scalare; quindi $v_p = v - v_n$
Nel tuo caso, $n = (0, 0, 1)$, $v= (1, -3, 3)$, $v_n = (0, 0, 3)$, $v_p = (1, -3, 0)$. Poi l'equazione parametrica della proiezione di r sul piano sarà $P(t) = C + v_p t$.
Però i conti avresti dovuto farli tu
scusa ma non ho capito niente... vp e vn come gli hai trovati? vn non è (0,0,1) quello che ho già trovato normale al piano?
"pinodoc":
scusa ma non ho capito niente... vp e vn come gli hai trovati? vn non è (0,0,1) quello che ho già trovato normale al piano?
Le equazioni parametriche della retta, le hai date tu nel primo messaggio, sono $x= 1+t$, $y= 2-3t$, $z= -3+3t$, cioé in forma vettoriale $P(t) = P_0 + v t$, con $P_0=(1,2,-3)$ e $v=(1, -3, 3)$.
$v_p$ e $v_n$ sono i due "pezzi" in cui scompongo il vettore $v$. $v_p = (1, -3, 0)$ giace sul piano e $v_n = (0, 0, 3)$ è normale al piano. $v_p + v_n = v$. $v_p$ è la proiezione di $v$ sul piano.
Per ottenere $v_n$, la componente di $v$ normale al piano, devo prima calcolare il prodotto scalare di $v$ per il versore normale al piano: $v \cdot n = (1, -3, 3) \cdot (0, 0, 1) = 3$ e poi moltiplicare il versore normale per il risultato: $v_n = (v \cdot n) n = 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 3)$
Per ottenere $v_p$ basta sottrarre $v_n$ da $v$: $v_p = v - v_n = (1, -3, 3) - (0, 0, 3) = (1, -3, 0)$.
Il punto di intersezione di $r$ con il piano, chiamiamolo $Q$, l'abbiamo già determinato prima ed è $(\frac{7}{3}, -2, 1)$.
Quindi l'equazione parametrica della proiezione della retta $r$ sul piano sarà $P(t) = Q + v_p t = (\frac{7}{3}, -2, 1) + t (1, -3, 0)$.
Meglio di così non credo di saperlo spiegare.
"vpindarico":
... l'equazione parametrica della proiezione di r sul piano sarà $P(t) = C + v_p t$ ...
Qui avevo usato la lettera $C$ per indicare l'intersezione della retta $r$ con il piano, senza accorgermi che $C$ era già il punto $(3, 0, 1)$ dato per individuare il piano. Nel messaggio successivo l'intersezione l'ho chiamata $Q$.
ok tutto chiaro grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo