Proiezione ortogonale
Ciao! volevo sapere se qualcuno è in grado di aiutarmi a dimostrare che la proiezione ortogonale non dipende dalla base scelta, proprio non riesco a mostrarlo. 
Grazie
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Risposte
Dovresti spendere qualche parola in più, non è affatto ovvio quello che vuoi sapere. Tiro ad indovinare. Dato uno spazio vettoriale \(V\) dotato di prodotto scalare, e dato un sottospazio \(W\) una cui base ortonormale è \(\mathbf{w}=(w_1 \ldots w_k)\), hai definito proiezione ortogonale su \(W\) l'applicazione
\[P(x)=\sum_{i=1}^k (x \cdot w_i)w_i.\]
Ora c'è da mostrare che se si prende un'altra base ortonormale \(\mathbf{z}=(z_1 \ldots z_k)\) di \(W\) l'applicazione
\[\tilde{P}(x)=\sum_{j=1}^k (x \cdot z_j)z_j\]
coincide con \(P\). Verifichiamolo prendendo la matrice \(M\) di cambiamento di coordinate dalla base \(\mathbf{w}\) alla base \(\mathbf{z}\) ovvero la matrice avente sulle colonne le componenti dei vettori di \(\mathbf{z}\) rispetto alla base \(\mathbf{w}\) (indici di riga in alto e di colonna in basso):
\[z_j=m^i_j w_i, \qquad M=(m^i_j)_{i, j =1, 2 \ldots n}.\]
Allora
\[\tilde{P}(x)=\sum_{j=1}^n(x \cdot z_j)z_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x \cdot m^i_j w_i)m^i_jw_i=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x \cdot m^i_jm^i_j w_i)w_i=\sum_{i=1}^n \left(x \cdot \sum_{j=1}^n\left(m^i_jm^i_j\right) w_i\right)w_i,\]
e siccome la matrice \(M\) è ortogonale, abbiamo che \(\sum_{j=1}^n\left(m^i_jm^i_j\right)=1\) (è il prodotto scalare della \(i\)-esima riga con sé stessa). Perciò \(\tilde{P}(x)=P(x)\) che è quanto volevamo dimostrare.
\[P(x)=\sum_{i=1}^k (x \cdot w_i)w_i.\]
Ora c'è da mostrare che se si prende un'altra base ortonormale \(\mathbf{z}=(z_1 \ldots z_k)\) di \(W\) l'applicazione
\[\tilde{P}(x)=\sum_{j=1}^k (x \cdot z_j)z_j\]
coincide con \(P\). Verifichiamolo prendendo la matrice \(M\) di cambiamento di coordinate dalla base \(\mathbf{w}\) alla base \(\mathbf{z}\) ovvero la matrice avente sulle colonne le componenti dei vettori di \(\mathbf{z}\) rispetto alla base \(\mathbf{w}\) (indici di riga in alto e di colonna in basso):
\[z_j=m^i_j w_i, \qquad M=(m^i_j)_{i, j =1, 2 \ldots n}.\]
Allora
\[\tilde{P}(x)=\sum_{j=1}^n(x \cdot z_j)z_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x \cdot m^i_j w_i)m^i_jw_i=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x \cdot m^i_jm^i_j w_i)w_i=\sum_{i=1}^n \left(x \cdot \sum_{j=1}^n\left(m^i_jm^i_j\right) w_i\right)w_i,\]
e siccome la matrice \(M\) è ortogonale, abbiamo che \(\sum_{j=1}^n\left(m^i_jm^i_j\right)=1\) (è il prodotto scalare della \(i\)-esima riga con sé stessa). Perciò \(\tilde{P}(x)=P(x)\) che è quanto volevamo dimostrare.
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