Proiezione in spazio hermitiano
Ciao, amici! Il Sernesi, Geometria I, accenna a coefficienti di Fourier e proiezioni di vettori lungo la direzione di un vettore non nullo nel caso di spazi vettoriali hermitiani, dicendo che si definiscono come nel caso di spazi euclidei.
Ora, nel caso euclideo il coefficiente di Fourier e la proiezione lungo \(\mathbf{v}\) sono definiti rispettivamente come
\[a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})=\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\]e \(a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})\mathbf{v}\).
Ora, se considero \(\langle,\rangle\) come un prodotto hermitiano, con \(a_{\mathbf{v}}\) così definito, non mi pare che \(\mathbf{w}-a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})\mathbf{v}\) e \(\mathbf{v}\) siano necessariamente ortogonali...
Invece me lo sembrano se inverto l'ordine dei vettori nel prodotto a numeratore del coefficiente, cioè mi pare che
\[\Big\langle\mathbf{w}-\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\mathbf{v},\mathbf{v}\Big\rangle=0\]
Non sarà che, nel caso hermitiano in cui non vale la simmetria, il coefficiente di Fourier sia da definire \(a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})=\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\)?
\(+\infty\) grazie a tutti!
Ora, nel caso euclideo il coefficiente di Fourier e la proiezione lungo \(\mathbf{v}\) sono definiti rispettivamente come
\[a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})=\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\]e \(a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})\mathbf{v}\).
Ora, se considero \(\langle,\rangle\) come un prodotto hermitiano, con \(a_{\mathbf{v}}\) così definito, non mi pare che \(\mathbf{w}-a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})\mathbf{v}\) e \(\mathbf{v}\) siano necessariamente ortogonali...
Invece me lo sembrano se inverto l'ordine dei vettori nel prodotto a numeratore del coefficiente, cioè mi pare che
\[\Big\langle\mathbf{w}-\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\mathbf{v},\mathbf{v}\Big\rangle=0\]
Non sarà che, nel caso hermitiano in cui non vale la simmetria, il coefficiente di Fourier sia da definire \(a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})=\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\)?
\(+\infty\) grazie a tutti!
Risposte
Dipende da che lato Sernesi decide di far uscire gli scalari coniugati, no? Se il prodotto hermitiano e' definito da $\bar v\cdot w$ allora escono dal primo, se e' definito da $v\cdot \bar w$ dal secondo: gli spazi ottenuti sono isometricamente isomorfi, o piu' precisamente, sono isomorfi a meno del coniugio.
Nella definizione del Sernesi è lo scalare che moltiplica il vettore di destra che esce coniugato, cioè, per ogni \(c\in\mathbb{C}\),
\[\langle\mathbf{v},c\mathbf{w}\rangle=\bar{c}\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\]\[\langle c\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=c\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\]
Quindi direi che, così definendo il prodotto scalare, la proiezione ortogonale di \(\mathbf{w}\) lungo \(\mathbf{v}\) debba proprio essere definita\[\text{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{w}=\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\mathbf{v}\]Grazie di cuore ancora!
\[\langle\mathbf{v},c\mathbf{w}\rangle=\bar{c}\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\]\[\langle c\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=c\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\]
Quindi direi che, così definendo il prodotto scalare, la proiezione ortogonale di \(\mathbf{w}\) lungo \(\mathbf{v}\) debba proprio essere definita\[\text{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{w}=\frac{\langle\mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\mathbf{v}\]Grazie di cuore ancora!
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