Proiezione di vettori

[BullDummy]

Buongiorno a tutti,
ho un dubbio probabilmente banale, ma vorrei proprio togliermelo. Immaginiamo di avere $ N - 1 $ vettori di taglia $ N $ che sono ortonormali fra di loro. Indichiamoli con $ ul(b)_i $ con $ i = 1,...,N-1 $ e, essendo di taglia $ N $, $ ul(b)_i in mathbb(R)^N $. Questi possono essere la base di uno spazio di dimensione $ N - 1 $ che chiamiamo $ mathbb(S) $. Adesso prendiamo un generico vettore $ ul{v} in mathbb(R)^N $. Alla domanda: <>, a me verrebbe da rispondere che per trovare le componenti di questo vettore proiezione mi basta calcolare i prodotti scalari fra $ ul(v) $ ed ognuno dei vettori della base, quindi per ogni $ ul(b)_i $. Il risultato di ogni prodotto scalare sarà un componente del vettore proiezione. Siccome i vettori della base sono $ N - 1 $, avrò $ N - 1 $ prodotti scalari, e il risultato sarà quindi un vettore $ ul(p) $ di taglia $ N - 1 $. Questo procedimento lo posso anche scrivere in forma matriciale: $ mathcal( mathbf(B) )^T ul(v) = ul(p) $, dove $ mathbf(B) $ è un vettore che ha per colonne i vettori $ ul(b)_i $. Però la matrice di proiezione solitamente è data come $ mathbf(B) mathbf(B)^T $, e moltiplicando questa matrice per il vettore $ ul(v) $ si ottiene un vettore proiezione che ha taglia $ N $ e non $ N - 1 $ come ho ottenuto prima. Dove è il baco nel mio ragionamento? Grazie a tutti

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Il prodotto $B^T v$ ti dà il vettore proiezione scritto nella base $b_1,...,b_(n-1)$, cioè ti dà i coefficienti $a_1,...,a_(n-1)$ (scritti in un vettore di taglia $n-1$) tali che il vettore proiezione è uguale a $sum_(i=1)^(n-1) a_i b_i$. Per scriverlo nella base canonica (che consiste di vettori di taglia $n$) devi moltiplicarlo a sinistra per $B$.

[BullDummy]

Grazie per la risposta! Perdona la mia ignoranza, ma cosa intendi per base canonica?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

La base canonica è quella base i cui vettori sono le colonne della matrice identica.

[BullDummy]

Ok, grazie mille!!!