Proiezione di una curva per un punto su un piano
salve, vi propongo questo esercizio che non mi riesce proprio.
data la curva $\gamma$ $\{(x^2+y^2+z^2=1),(x+y-z=1):}$ determinare $\gamma$' dato dalla proiezione di $\gamma$ attraverso l'origine sul piano $x+y-z=4$ e determinare se esiste la sfera contenente le curve $\gamma$ e $\gamma$'.
io pensavo di individuare il cono che continene $\gamma$ e con vertice nell'origine intersecarlo con il piano dato trovando cosi la curva proiettata. Sono riuscito a individuare l'asse del cono, ovvero facendo passare una retta per l'origine e perendicolare al piano $x+y-z=4$, questo perchè il piano dato e quello contenente la circonferenza $\gamma$ sono paralleli avendo la stessa giacitura. tuttavia poi non riesco ad andare avanti e a trovare il cono.. il ragionamento pero penso che sia giusto..
grazie!
data la curva $\gamma$ $\{(x^2+y^2+z^2=1),(x+y-z=1):}$ determinare $\gamma$' dato dalla proiezione di $\gamma$ attraverso l'origine sul piano $x+y-z=4$ e determinare se esiste la sfera contenente le curve $\gamma$ e $\gamma$'.
io pensavo di individuare il cono che continene $\gamma$ e con vertice nell'origine intersecarlo con il piano dato trovando cosi la curva proiettata. Sono riuscito a individuare l'asse del cono, ovvero facendo passare una retta per l'origine e perendicolare al piano $x+y-z=4$, questo perchè il piano dato e quello contenente la circonferenza $\gamma$ sono paralleli avendo la stessa giacitura. tuttavia poi non riesco ad andare avanti e a trovare il cono.. il ragionamento pero penso che sia giusto..
grazie!
Risposte
Sia \(P(u,v,w) \) un punto di \(\gamma\) la retta passante per l'origine e il punto\(P\) è: \( x=tu,y=tv,z=tw\) da cui:
\( u=\frac{x}{t},v=\frac{y}{t},w=\frac{z}{t}\) e quindi dobbiamo avere:
\( x^2+y^2+z^2=t^2,x+y-z=t\)
Eliminando \(t\) viene fuori l'equazione del cono: \( xy-xz-yz=0\)
La proiezione è:
\( \gamma'
\begin{cases}
xy-xz-yz=0\\
x+y-z=4
\end{cases}
\)
La conica \(\gamma ' \) appartiene pure alla sfera
\( (x+y-z-4)^2-2(xy-xz-yz)=0\)
\( x^2+y^2+z^2-8x-8y+8z+16=0\)
Riscriviamo \(\gamma ' \) come:
\(
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-8x-8y+8z+16=0\\
x+y-z=4
\end{cases}
\)
Quindi \( \gamma ' \) è una circonferenza.
La sfere del fascio \(S_1 \)
\( x^2+y^2+z^2-1+\lambda (x+y-z-1)=0\)
\( x^2+y^2+z^2+\lambda x+\lambda y-\lambda z-1-\lambda=0\)
passano tutte per \(\gamma \)
Tutte le sfere del fascio \( S_2 \)
\( x^2+y^2+z^2-8x-8y+8z+16+\mu (x+y-z-4)=0\)
\( x^2+y^2+z^2+(\mu-8)x+(\mu-8)y+(8-\mu)z+16-4 \mu=0\)
passano per \( \gamma '\)
Una sfera comune ai due fasci si ottiene per:
\(
\begin{cases}
\mu-8=\lambda\\
16-4\mu=-1-\lambda
\end{cases}
\)
\( \mu=3, \lambda =-5\)
e otteniamo la sfera
\( x^2+y^2+z^2-5x-5y+5z+4=0\)
passante per \( \gamma\) e \( \gamma '\)
Non escludo errori di calcolo.
\( u=\frac{x}{t},v=\frac{y}{t},w=\frac{z}{t}\) e quindi dobbiamo avere:
\( x^2+y^2+z^2=t^2,x+y-z=t\)
Eliminando \(t\) viene fuori l'equazione del cono: \( xy-xz-yz=0\)
La proiezione è:
\( \gamma'
\begin{cases}
xy-xz-yz=0\\
x+y-z=4
\end{cases}
\)
La conica \(\gamma ' \) appartiene pure alla sfera
\( (x+y-z-4)^2-2(xy-xz-yz)=0\)
\( x^2+y^2+z^2-8x-8y+8z+16=0\)
Riscriviamo \(\gamma ' \) come:
\(
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-8x-8y+8z+16=0\\
x+y-z=4
\end{cases}
\)
Quindi \( \gamma ' \) è una circonferenza.
La sfere del fascio \(S_1 \)
\( x^2+y^2+z^2-1+\lambda (x+y-z-1)=0\)
\( x^2+y^2+z^2+\lambda x+\lambda y-\lambda z-1-\lambda=0\)
passano tutte per \(\gamma \)
Tutte le sfere del fascio \( S_2 \)
\( x^2+y^2+z^2-8x-8y+8z+16+\mu (x+y-z-4)=0\)
\( x^2+y^2+z^2+(\mu-8)x+(\mu-8)y+(8-\mu)z+16-4 \mu=0\)
passano per \( \gamma '\)
Una sfera comune ai due fasci si ottiene per:
\(
\begin{cases}
\mu-8=\lambda\\
16-4\mu=-1-\lambda
\end{cases}
\)
\( \mu=3, \lambda =-5\)
e otteniamo la sfera
\( x^2+y^2+z^2-5x-5y+5z+4=0\)
passante per \( \gamma\) e \( \gamma '\)
Non escludo errori di calcolo.
ti ringrazio! l'unica cosa che non ho capito è all'inizio. Come mai dici dopo aver detto che il punto P è: $x=tu,y=tv,z=tw$ da cui:
$u=x/t,v=y/t,w=z/t$ come fai a imporre questo: $x^2+y^2+z^2=t^2,x+y−z=t$. Praticamente te dici che il raggio è uguale a t? il resto è chiaro solo che non mi riusciva scrivere l'eq del cono. grazie mille!
$u=x/t,v=y/t,w=z/t$ come fai a imporre questo: $x^2+y^2+z^2=t^2,x+y−z=t$. Praticamente te dici che il raggio è uguale a t? il resto è chiaro solo che non mi riusciva scrivere l'eq del cono. grazie mille!
@totissimus: la prossima volta evita di spiattellare tutta la soluzione, grazie.
Mi interessava questo argomento e anche se ormai è di 4 anni fa ringrazio @totissimus!
Domanda a @Seneca: Perchè hai scritto di non "spiattellare" la soluzione? Questo forum non è fatto proprio per rispondere e dare soluzioni a chi ha dubbi e domande? Non capisco.
Domanda a @Seneca: Perchè hai scritto di non "spiattellare" la soluzione? Questo forum non è fatto proprio per rispondere e dare soluzioni a chi ha dubbi e domande? Non capisco.
Dal regolamento: Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo