Proiezione di un punto su un sottospazio

[qqqqq1]

Ciao,
ho bisogno di aiuto!!
spero di essere nel posto giusto
Non riesco a risolvere il seguente problema:
Si trovi la proiezione ortogonale del puntp P=(1,2,3)
sul sottospazio di R3 di equazioni
x+y+z=0
x-y+z=0
Ho provato a spataccare con ker im etc ma non ne vengo a capo
Qualcuno sa come si fa?
Grazie e mille in anticipo
p.s. ho l'esame tra due giorni!!

[qqqqq1]

visto che nessuno si degna vi dico come l'ho pensata e spero saprete dirmi se ci può stare o no
Poneno A = 1 1 1 rappresentazione cartesiana del Ker A e rango di A =2 segue che la dimensione del Ker è n-rango(A)=1 (dove n è il numero di colonne di A)
1 -1 1

Quindi posso trovare una base, w1 ad esempio (1,0,-1)/sqrt(2)
e fare la proiezione <(1,0,-1),(1,2,3)>(1,0,-1)= (-1,0,1)
ke infatti se la sostituisco in W lo pone uguale a zero.

Ha senso secondo voi ?
ora credo di aver dimostrato che non sto qui per sfruttarvi ma ho solo bisogno di conferme

[dissonance]

"qqqqq":visto che nessuno si degna

Ciao. Ti consiglio di cambiare atteggiamento, così non otterrai molto da questo forum. Qui nessuno è obbligato ad aiutare nessuno, se si discute insieme lo si fa per piacere e per crescita reciproca. Ponendoti così mostri di non avere chiaro questo concetto, ti senti in dovere di essere aiutato e un utente del forum lo percepisce e si allontana.

Aggiungiamo poi un motivo contingente: dalle 00.30 alle 02.30 quanti utenti vuoi che bazzichino il forum? E quanti di questi vuoi che siano lì disponibili a correggerti l'esercizio?

Detto questo, provo a darti un aiuto: della tua risoluzione non capisco granché ma intuisco che l'idea è giusta. Io farei così: risolvendo le equazioni cartesiane di $W$ ne troverei una base; poi usando l'algoritmo di Gram-Schmidt ne troverei una base ortonormale. Detta $b_1$ questa base ortonormale (il sottospazio $W$ è una retta, usa il teorema di Rouché-Capelli per convincertene), la funzione proiezione ortogonale su $W$ è la

$p_W(x)=\langle x, b_1 \rangle b_1$;

la soluzione del problema è $p_W(P)$.

[EDIT]Scrivevo in contemporanea a Sergio. Interessante notare come i due post siano sostanzialmente equivalenti!

[qqqqq1]

Ciao ragazzi,
innanzitutto mi scuso per l'irruenza

ero alle prese con un esercizio che continuava a non venirmi ed ero un po nervoso........
scusate ancora la prosssima volta provero a cercare un forum tipo laueandi skizzati delle 2 di notte ...
A parte gli scherzi avete ragione non è il giusto atteggiamento
grazie per le risposte che mi hanno chiarito un po le idee,
anche se non mi è chiaro cosa sia un vettore direttore forse io l'ho sempre chiamato in un altro modo,

La prossima volta vedro di essere più paziente
Grazie ancora!!!