Proiezione di un punto su un piano affine

[RenoFranco]

Buonasera, non riesco a trovare un medoto per risolvere questo esercizio, qualcuno può aiutarmi? Grazie!

La proiezione di $(1,3,2)$ sul piano affine $(1,1,0) + <(1,0,-1),(1,1,2)>$ è?
La soluzione è: $1/11(15,21,26)$

[anto_zoolander]

come ogni esercizio sulle proiezioni di un punto su un sottospazio.
ortogonalizzi la base della giacitura per comodità che sarà $<(1,0,-1),(3,2,3)>$

prendi il vettore $PQ=(1,3,2)-(1,1,0)=(0,2,2)$ e ne consideri la proiezione sulla giacitura che sarà

[size=80]$pi_W(PQ)=((0,2,2)*(1,0,-1))/(||(1,0,-1)||^2)*(1,0,-1)+((0,2,2)*(3,2,3))/(||(3,2,3)||^2)*(3,2,3)$[/size]

ossia

$pi_(W)(PQ)=(-1,0,1)+10/22(3,2,3)=(4/11,10/11,26/11)$

a questo punto consideri $P+pi_W(PQ)=(1,1,0)+1/11(4,10,26)=1/11(15,21,26)$

per gli altri esercizi basta copincollare questo, adattandolo alla dimensione
piuttosto per capire come fare considera semplicemente uno spazio euclideo $(A,V)$ e un sottospazio affine $P+W$ di dimensione $dim(P+W)=dimW=m
mostra che se $W=$ base ortogonale allora la proiezione di un vettore di $V$ su $W$ è data da

$pi_W(v)=sum_(k=1)^(m)(v*w_k)/(||w_k||^2)*w_k$

e che quindi la proiezione di un punto $Q notin P+W$ sia la quantità

$X=P+sum_(k=1)^(n)(v*w_k)/(||w_k||^2)*w_k$

suggerimento: basta considerare che $V=WoplusW^(_|_)$