Proiezione

[matitti]

Ciao a tutti... Ho un problema da risolvere e non ho la più pallida idea di come si faccia:
ho $G=L{(1,0,0),(1,0,1)}$ e $H=L((0,1,1))$ voglio calcolare la proiezione su G lungo la direzione di H.
Questo è il comando, quindi immagino che voglio la matrice che mi faccia questa cosa, e quindi la trasformazione lineare.
Come faccio?

[abbax]

ti rispondo ma non sono sicuro che sia giusto... per proiezione si intende il prendere le coordinate riguardanti, in questo caso, G. Quindi la matrice sarà una matrice diagonale del tipo \(\displaystyle diag(1,1,0) \) cioè è composta di tutti zeri tranne due uni sulla diagonale nelle prime due righe... ma ripeto, non sono sicurissimo, quindi spero arrivi qualcuno a correggere

[Sk_Anonymous]

La soluzione proposta da abbax è corretta, anche se mal esposta. Hai verificato che i due spazi sono in somma diretta? Non mi pare. Saranno pure controlli capziosi, ma van fatti. E poi, come si passa alla base canonica? Spiega bene.

[matitti]

grazie per la risposta! ma studiando ho visto che per le proiezioni esiste un metodo, una formula:
$pi (x)=()/() A$ e sarebbe la proiezione ortogonale di x su A. La posso applicare??

[abbax]

non credo perchè lui ti dice di fare la proiezione lungo la direzione di H che non è ortogonale a G ma obliqua

vero anche quello che ha detto delirium... prima di fare una proiezione bisogna sempre controllare che retta e piano (in questo caso) siano complementare, ossia che la loro intersezione sia lo zero e che insieme formino tutto l'insieme in cui stanno, in questo caso lo spazio \(\displaystyle R^3 \)
spero venga a controllare perchè non so se è giusto, rispondo più che altro per vedere se ho capito

[matitti]

quindi se ad esempio i vettori di G e H fossero una base di $V_3(R)$ allora potrei fare come dice abbax? comunque il suo procedimento non l'ho capito...

[Sk_Anonymous]

"matitti":quindi se ad esempio i vettori di G e H fossero una base di $V_3(R)$ [...]

Sì.

La strada che lui (abbax) ti propone è la seguente: fissata la base \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},v_{2},v_{3} \} \) con \[\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad v_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad v_{3}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] la matrice di proiezione su \(\displaystyle G \) parallelamente ad \(\displaystyle H \) rispetto alla base \(\displaystyle \mathcal{V} \) sia nel dominio che nel codominio sarà la seguente: \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\pi)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]ovverosia \(\displaystyle \pi \) induce l'identità su \(\displaystyle G \) e ha come nucleo \(\displaystyle H \) (definizione di proiezione). La matrice della stessa applicazione scritta secondo la base canonica sarà \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(\pi)=\alpha_{\mathcal{V},\mathcal{E}}(\text{id}) \circ \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\pi) \circ \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{V}}(\text{id}) \]

[matitti]

ma la diagonale come l'hai ottenuta?

[Sk_Anonymous]

"Delirium":[...] ovverosia \(\displaystyle \pi \) induce l'identità su \(\displaystyle G \) e ha come nucleo \(\displaystyle H \) (definizione di proiezione). [...]

[matitti]

mi dareste una mano anche di qua?
post677970.html#p677970

[matitti]

ma se al posto di G avessi una equazione del tipo $x_1+2x_2+x_3$ come dovrei fare?