Proiettività in PP^3
Come faccio a determinare gli spazi uniti di una proiettività a partire dalla sua matrice?
Risolvo il sistema $Ax=x$?
Risolvo il sistema $Ax=x$?
Risposte
A me sembra una buona idea (nonchè l'unica che mi viene in mente).
Naturalmente $A$ è la matrice della proiettività e $x$ è la quaterna della coordinate proiettive omogenee.
Naturalmente $A$ è la matrice della proiettività e $x$ è la quaterna della coordinate proiettive omogenee.
La matrice della proiettività è:
$A=((alpha,0,0,0),(0,alpha,0,0),(0,0,-alpha,1),(0,0,0,-alpha))$.
Ponendo $A(x_0,x_1,x_2,x_3)^t=(x_0,x_1,x_2,x_3)$ Si ottiene $(x_0,x_1,x_2,x_3)=(0,0,0,0)$.
Quindi l'unico spazio unito è l'origine?
$A=((alpha,0,0,0),(0,alpha,0,0),(0,0,-alpha,1),(0,0,0,-alpha))$.
Ponendo $A(x_0,x_1,x_2,x_3)^t=(x_0,x_1,x_2,x_3)$ Si ottiene $(x_0,x_1,x_2,x_3)=(0,0,0,0)$.
Quindi l'unico spazio unito è l'origine?
"Origine" è una parola che in geometria proiettiva non si può proprio sentire!
Intendo il vettore $(0,0,0,0)$...giusto?
Può essere $(0,0,0,0)$ la (una) quaterna delle coordinate proiettive omogenee di un punto dello spazio proiettivo?
No perchè devono essere non nulle. Per quello ho chiesto...
Appunto. Non puoi parlare di "origine". Non ha semplicemente senso.
Comunque, non vorrei sbagliarmi, ma se non ricordo male, per determinare i punti fissi di una trasformazione proiettiva [tex]T:\mathbb{K}P_3\to \mathbb{K}P_3[/tex] determinata da una matrice [tex]A:\mathbb{K}^4\to\mathbb{K}^4[/tex], non basta risolvere [tex]Ax=x[/tex].
Infatti se [tex]p[/tex] è un punto di [tex]\mathbb{K}P_3[/tex] con coordinate proiettive omogenee [tex]x\in(\mathbb{K}^4)^*[/tex], se denoto con [tex]\varphi:(\mathbb{K}^4)^*\to\mathbb{K}P_3[/tex] la proiezione canonica, si ha che [tex]p[/tex] è punto fisso di [tex]T[/tex] se e solo se
[tex]\varphi(Ax)=T(\varphi(x))=T(p)=p=\varphi(x)[/tex].
E questo equivale a dire che [tex]x[/tex] e [tex]Ax[/tex] sono proporzionali, ovvero [tex]Ax=\rho x[/tex] per qualche [tex]\rho\neq 0[/tex].
Quindi [tex]p[/tex] è punto unito di [tex]T[/tex] se e solo se [tex]x[/tex] è autovettore (non nullo) di [tex]A[/tex].
Insomma devi trovare gli autovettori di [tex]A[/tex]...
Comunque, non vorrei sbagliarmi, ma se non ricordo male, per determinare i punti fissi di una trasformazione proiettiva [tex]T:\mathbb{K}P_3\to \mathbb{K}P_3[/tex] determinata da una matrice [tex]A:\mathbb{K}^4\to\mathbb{K}^4[/tex], non basta risolvere [tex]Ax=x[/tex].
Infatti se [tex]p[/tex] è un punto di [tex]\mathbb{K}P_3[/tex] con coordinate proiettive omogenee [tex]x\in(\mathbb{K}^4)^*[/tex], se denoto con [tex]\varphi:(\mathbb{K}^4)^*\to\mathbb{K}P_3[/tex] la proiezione canonica, si ha che [tex]p[/tex] è punto fisso di [tex]T[/tex] se e solo se
[tex]\varphi(Ax)=T(\varphi(x))=T(p)=p=\varphi(x)[/tex].
E questo equivale a dire che [tex]x[/tex] e [tex]Ax[/tex] sono proporzionali, ovvero [tex]Ax=\rho x[/tex] per qualche [tex]\rho\neq 0[/tex].
Quindi [tex]p[/tex] è punto unito di [tex]T[/tex] se e solo se [tex]x[/tex] è autovettore (non nullo) di [tex]A[/tex].
Insomma devi trovare gli autovettori di [tex]A[/tex]...
Lo spazio degli autovettori di A è $<(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)>$.
Quindi i tre generatori sono i punti fissi, corretto? (è normale che non dipendano da $alpha$?).
Come faccio a stabilire se su questi punti fissi vengono indotte omologie o involuzioni?
Quindi i tre generatori sono i punti fissi, corretto? (è normale che non dipendano da $alpha$?).
Come faccio a stabilire se su questi punti fissi vengono indotte omologie o involuzioni?
"thedarkhero":
Quindi i tre generatori sono i punti fissi, corretto? (è normale che non dipendano da $alpha$?).
Corretto. I tre generatori e tutte le loro combinazioni lineari.
E mi sembra normale che non dipendano da $alpha$ (ovviamente $alpha!=0$, affinchè $A\in GL(4,KK)$).
"thedarkhero":
Come faccio a stabilire se su questi punti fissi vengono indotte omologie o involuzioni?
Mi spiace ma non mi ricordo le definizioni. E' passato un po' di tempo e non ho gli appunti a portata di mano...
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