Proiettività che fissano l'iperpiano dei punti impropri
Se considero lo spazio U e il suo completamento proiettivo $P(U+K)$, la proiettività associata ad un'affinità $\psi(x)=Ax+b$ su U, è $\psi'(x,k)=(Ax+bk,k)$ che lascia invariante il piano dei punti impropri.
Mi viene da dire che oltre alle traslazioni anche le omotetie fissano punto per punto l'iperpiano dei punti impropri: se ho $\psi=\lambdaI+b$,allora $\psi'(x,k)=(\lambdaIx+bk,k)$, che sui punti impopri (k=0) agisce così: $\psi'(x,0)=(\lambdaIx,0)$, cioè un vettore $x$ va in un suo multiplo e quindi la retta individuata (il punto nel proiettivo) va in sè stessa.
E' corretto?
Mi viene da dire che oltre alle traslazioni anche le omotetie fissano punto per punto l'iperpiano dei punti impropri: se ho $\psi=\lambdaI+b$,allora $\psi'(x,k)=(\lambdaIx+bk,k)$, che sui punti impopri (k=0) agisce così: $\psi'(x,0)=(\lambdaIx,0)$, cioè un vettore $x$ va in un suo multiplo e quindi la retta individuata (il punto nel proiettivo) va in sè stessa.
E' corretto?
Risposte
(E' da un po' che non vedo queste cose) ma mi pare che tu abbia ragione.
Io ho seguito questo ragionamento, lo riporto magari ti torna utile: quando fai agire una affinità su una varietà affine, la giacitura della varietà cambia secondo l'applicazione lineare associata all'affinità. Se prendi affinità associate a $id$ o a un suo multiplo scalare, e quindi traslazioni, omotetie e composizioni delle due, queste affinità trasformeranno le giaciture delle varietà affini lasciandole fisse (quando moltiplichi tutti i vettori di un sottospazio vettoriale per uno scalare, riottieni lo stesso sottospazio vettoriale).
Siccome i punti impropri di una varietà affine "sono" i vettori della giacitura (c'è una corrispondenza biunivoca - spero sia chiaro a cosa mi riferisco), le affinità sopra elencate diventano proiettività che lasciano fisso l'iperpiano improprio.
P.S.: Il ragionamento che hai scritto tu mi pare che sia proprio la traduzione in formule di quello che ho scritto sopra a parole. Mi pare corretto.
Io ho seguito questo ragionamento, lo riporto magari ti torna utile: quando fai agire una affinità su una varietà affine, la giacitura della varietà cambia secondo l'applicazione lineare associata all'affinità. Se prendi affinità associate a $id$ o a un suo multiplo scalare, e quindi traslazioni, omotetie e composizioni delle due, queste affinità trasformeranno le giaciture delle varietà affini lasciandole fisse (quando moltiplichi tutti i vettori di un sottospazio vettoriale per uno scalare, riottieni lo stesso sottospazio vettoriale).
Siccome i punti impropri di una varietà affine "sono" i vettori della giacitura (c'è una corrispondenza biunivoca - spero sia chiaro a cosa mi riferisco), le affinità sopra elencate diventano proiettività che lasciano fisso l'iperpiano improprio.
P.S.: Il ragionamento che hai scritto tu mi pare che sia proprio la traduzione in formule di quello che ho scritto sopra a parole. Mi pare corretto.
Non so cosa sia una varietà affine ma comunque ti ringrazio.
Una varietà affine? Probabilmente tu la chiami sottospazio affine. Sono sinonimi.
Ah ok! Grazie mille!
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