Prodotto vettoriale e aerea parallelogramma

[phate82]

ciao!

un piccolo problema:

ho una trasformazione lineare T:R^2->R^2 con associata una matrice A e un quadrato unitario Q individuato dai vettori e1=(1,0) ed e2=(0,1). Dovrei dimostrare che l'area del trasformato di Q tramite T è pari al modulo del detA. Calcolati T(e1)=(a,c) e T(e2)=(b,d) e sfruttando il fatto che il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori è pari all'area del parallelogramma avente per lati i due vettori, ho calcolato tale prodotto vettoriale. Ho trovato (ad-bc)k, che effettivamente ha come modulo |ad-bc|, pari a |detA|.

Il problema è che prima di seguire questo procedimento ho provato un'altra soluzione che "stranamente" non ha funzionato: trovati T(e1) e T(e2), ho calcolato il loro modulo (radice di a^2+c^2 e radice di b^2+d^2 rispettivamente), ma facendo il prodotto dei moduli non ho trovato l'area cercata. E' ovvio che sto sbagliando..ma cosa?

[Sontom Vinkel]

Così a prima vista ti direi che secondo me l'area di un parallelogramma è data da base per altezza e non dalle lunghezze dei lati. Magari mi sbaglio!

[phate82]

"Sontom Vinkel":Così a prima vista ti direi che secondo me l'area di un parallelogramma è data da base per altezza e non dalle lunghezze dei lati. Magari mi sbaglio!

Sì..quello che dici è corretto, infatti la formula generale prevede anche il prodotto per il sen dell'angolo compreso. Nel mio caso però l'angolo è di 90 gradi visto che sono partito da due lati perpendicolari e che la trasformazione lineare T non dovrebbe cambiare la loro posizione reciproca.

[Sontom Vinkel]

Scusa ma la trasformazione non ti darà come risultato vettori perpendicolari, prova a fare il prodotto vettoriale dei due vettori trovati vedrai che è pari all'area cercata.

[phate82]

Ho fatto il prodotto vettoriale tramite il determinante "simbolico" e il modulo del vettore risultante è effettivamente l'area cercata. Quello che ho provato a fare in alternativa è di trovare il modulo del prodotto vettoriale come prodotto dei moduli dei vettori di partenza per il sin dell'angolo compreso (è quella la formula giusto?).

Mentre scrivo però mi viene un "leggero" dubbio ..effettivamente quello che so è che T è la parte lineare di una trasformazione affine, quindi in generale posso solo dire che conserva il parallelismo e non gli angoli (altrimenti dovrebbe essere una trasformazione ortogonale, giusto?). Quindi mi chiedo...le due formule per il calcolo del prodotto vettoriale (ovvero determinante simbolico e prodotto dei moduli per sin dell'angolo compreso) non possono essere usate indifferentemente?

grazie dell'aiuto

[orazioster]

certo che possono: è la stessa cosa. (cioè
il modulo del vettore risultato del prodotto vettoriale ed il prodotto
dei moduli per il seno dell'angolo compreso).

Il punto è quale sia il valore di questo seno.
Come hai detto tu -non è detto che la trasformazione
conservi gli angoli.

[phate82]

"orazioster":certo che possono: è la stessa cosa. (cioè
il modulo del vettore risultato del prodotto vettoriale ed il prodotto
dei moduli per il seno dell'angolo compreso).

ok. Quindi se non ho a disposizione l'angolo compreso tra i due vettori non posso applicare la seconda formula.
Praticamente, conoscendo solo le coordinate dei due vettori, con il determinante simbolico posso conoscere il modulo del prodotto scalare senza sapere l'angolo fra i due vettori di partenza, mentre la formula col seno non è utilizzabile.

Quello che mi sembrava strano è che due formule equivalenti non avessero bisogno degli stessi dati...davo per scontato che ci fosse un modo per usare indifferentemente l'una o l'altra in ogni situazione.

[orazioster]

In effetti puoi usare la conoscenza del prodotto scalatre, o del modulo
del prodotto vettoriale tra due vettori proprio per conoscere l'angolo, dati i vettori (ovviamente
ti è più semplice usare il prodotto scalare).

[Sontom Vinkel]

"phate82":

Mentre scrivo però mi viene un "leggero" dubbio ..effettivamente quello che so è che T è la parte lineare di una trasformazione affine, quindi in generale posso solo dire che conserva il parallelismo e non gli angoli (altrimenti dovrebbe essere una trasformazione ortogonale, giusto?).

grazie dell'aiuto

Se ti riferisci alla trasformazione lineare ho dei dubbi sul fatto della conservazione del parallelismo.

[phate82]

"Sontom Vinkel":Se ti riferisci alla trasformazione lineare ho dei dubbi sul fatto della conservazione del parallelismo.

questa mi giunge nuova...da quello che so, una trasformazione affine conserva il parallelismo...e una trasformazione affine è la composizione di una trasformazione lineare con una traslazione. Nel mio caso non c'è la traslazione, però credo che la proprietà sia comunque valida. dici che mi sbaglio?

[Sontom Vinkel]

Scusa mi son confuso, conserva il parallelismo tra due vettori paralleli ma non conserva affatto l'ortogonalità (a meno come hai detto te non sia una traformazione ortogonale, tipo una rotazione).

[phate82]

"Sontom Vinkel":Scusa mi son confuso, conserva il parallelismo tra due vettori paralleli ma non conserva affatto l'ortogonalità (a meno come hai detto te non sia una traformazione ortogonale, tipo una rotazione).

mi sento sollevato ..sto studiando l'argomento per un esame e non sono ancora molto ferrato. Pensavo di non aver capito niente!

grazie ancora per l'aiuto (a tutti)