Prodotto tra tensore simmetrico e tensore antisimmetrico
Salve,
Vorrei capire perchè il prodotto tra un tensore simmetrico e un tensore antisimmetrico è nullo?
Io direi perchè i tensori sono tra loro ortogonali, peró non riesco a dare una risposta esauriente...
Vorrei capire perchè il prodotto tra un tensore simmetrico e un tensore antisimmetrico è nullo?
Io direi perchè i tensori sono tra loro ortogonali, peró non riesco a dare una risposta esauriente...
Risposte
Dipende in che senso definisci il prodotto.
Il prodotto nell'algebra tensoriale non e' nullo. Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ e la sua algebra tensoriale $V^{\otimes}$ con l'operazione di prodotto tensore $\otimes$. Se \(f \in S^d V \subseteq V^{\otimes d}\) e' un tensore simmetrico e \( \omega \in \Lambda^k V \subseteq V^{\otimes k} \) e' un tensore antisimmetrico, allora $f \otimes \omega \in V^{d + k}$ non e' nullo.
Anche contrazioni parziali non sono necessariamente nulle. Ad esempio il prodotto di una matrice simmetrica per una antisimmetrica non e' necessariamente nullo.
E' tuttavia nulla la contrazione totale tra i due tensori. Se hai $f \in S^d V$ simmetrico e \(\omega \in \Lambda^d V^*\) antisimmetrico allora la contrazione \( \langle f , \omega \rangle\) tra i due tensori e' nulla, dove $\langle - , - \rangle$ denota il pairing tra $V$ e \(V^*\). E' a questo che ti riferisci?
Il prodotto nell'algebra tensoriale non e' nullo. Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ e la sua algebra tensoriale $V^{\otimes}$ con l'operazione di prodotto tensore $\otimes$. Se \(f \in S^d V \subseteq V^{\otimes d}\) e' un tensore simmetrico e \( \omega \in \Lambda^k V \subseteq V^{\otimes k} \) e' un tensore antisimmetrico, allora $f \otimes \omega \in V^{d + k}$ non e' nullo.
Anche contrazioni parziali non sono necessariamente nulle. Ad esempio il prodotto di una matrice simmetrica per una antisimmetrica non e' necessariamente nullo.
E' tuttavia nulla la contrazione totale tra i due tensori. Se hai $f \in S^d V$ simmetrico e \(\omega \in \Lambda^d V^*\) antisimmetrico allora la contrazione \( \langle f , \omega \rangle\) tra i due tensori e' nulla, dove $\langle - , - \rangle$ denota il pairing tra $V$ e \(V^*\). E' a questo che ti riferisci?
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