Prodotto tensoriale
da un nebuloso esercizio svolto nei miei appunti mi pare di trovare questa proprietà
se K è un spazio vettoriale e M,N sono due K-spazi vettoriale allora
$MoxN=0->M=0vvN=0$
è vero? qualcuno sa spiegarmi perchè?
se K è un spazio vettoriale e M,N sono due K-spazi vettoriale allora
$MoxN=0->M=0vvN=0$
è vero? qualcuno sa spiegarmi perchè?
Risposte
lo spazio prodotto è generato dai vettori $ei x fj$ con $ei$ base del primo spazio $fj$ base del secondo ora se il prodotto contiene solo il vettore nullo vuol dire che almeno una delle due basi contiene solo il vettore nullo da cui la tesi
sinceramente ancora non mi è molto chiaro, so che c'entra poco ma sta qua il mio dubbio
$QQoxZ_n=0$ su $ZZ$ però nessuno dei due è zero. (n non primo)
l'obiezione è abbastanza ovvia $ZZ$ non è un campo e i due moduli non sono quindi spazi vettoriali.
Perchè con campi e spazi vettoriali funziona? $e_ioxf_j=0->e_i=0 vv f_j=0$?
$QQoxZ_n=0$ su $ZZ$ però nessuno dei due è zero. (n non primo)
l'obiezione è abbastanza ovvia $ZZ$ non è un campo e i due moduli non sono quindi spazi vettoriali.
Perchè con campi e spazi vettoriali funziona? $e_ioxf_j=0->e_i=0 vv f_j=0$?
perchè su Z $Q\otimesZ_n=0$?
$aoxb=(an)/noxb=a/noxbn=a/nox0=0$
ho continuato a pensarci su nel frattempo: ogni k-spazio vettoriale è piatto perchè non ha k-torsioni (k è PID). il problema quindi diventa vedere se è fedelmente piatto (M è fedelmente piatto se è piatto e $MoxN=0->N=0$) che praticamente è quello che voglio. ti dice qualcosa?
ho continuato a pensarci su nel frattempo: ogni k-spazio vettoriale è piatto perchè non ha k-torsioni (k è PID). il problema quindi diventa vedere se è fedelmente piatto (M è fedelmente piatto se è piatto e $MoxN=0->N=0$) che praticamente è quello che voglio. ti dice qualcosa?
Immagino che nel primo post vuoi dire che K è un campo (non uno spazio vettoriale).
In dimensione finita è abbastanza chiaro: se M e N sono non nulli allora puoi identificare M con $K^m$ e N con $K^n$ per opportuni interi strettamente positivi n ed m, e $K^m otimes_K K^n$ è quindi non nullo. Infatti $K^m otimes_K K^n cong (K otimes_K K^n)^m cong (K^n)^m cong K^{nm} ne 0$.
Ora, in dimensione infinita penso si possano (in modo analogo) fare questi passaggi (ma non ne sono del tutto convinto):
$K^{(I)} otimes_K K^{(J)} cong (K^{(I)})^{(J)} cong K^{(I times J)} ne 0$.
In dimensione finita è abbastanza chiaro: se M e N sono non nulli allora puoi identificare M con $K^m$ e N con $K^n$ per opportuni interi strettamente positivi n ed m, e $K^m otimes_K K^n$ è quindi non nullo. Infatti $K^m otimes_K K^n cong (K otimes_K K^n)^m cong (K^n)^m cong K^{nm} ne 0$.
Ora, in dimensione infinita penso si possano (in modo analogo) fare questi passaggi (ma non ne sono del tutto convinto):
$K^{(I)} otimes_K K^{(J)} cong (K^{(I)})^{(J)} cong K^{(I times J)} ne 0$.
nel primo post intendevo campo si 
ma pare di aver capito e che i passaggi siano corretti, anche quelli in dimensione infinita (il mio prof l'ha fatto qualche volta ora riguardo bene gli appunti per essere sicuro). grazie ad entrambi.
ma pare di aver capito e che i passaggi siano corretti, anche quelli in dimensione infinita (il mio prof l'ha fatto qualche volta ora riguardo bene gli appunti per essere sicuro). grazie ad entrambi.
"Martino":
Immagino che nel primo post vuoi dire che K è un campo (non uno spazio vettoriale).
In dimensione finita è abbastanza chiaro: se M e N sono non nulli allora puoi identificare M con $K^m$ e N con $K^n$ per opportuni interi strettamente positivi n ed m, e $K^m otimes_K K^n$ è quindi non nullo. Infatti $K^m otimes_K K^n cong (K otimes_K K^n)^m cong (K^n)^m cong K^{nm} ne 0$.
Ora, in dimensione infinita penso si possano (in modo analogo) fare questi passaggi (ma non ne sono del tutto convinto):
$K^{(I)} otimes_K K^{(J)} cong (K^{(I)})^{(J)} cong K^{(I times J)} ne 0$.
senti mi togli delle curiosità?
che vuol dire il simbolo del prodotto tensore indicizzato da K?.... e quali regole algebriche hai usato per fare quegli isomorfismi?
thx in advance..
"Thomas":
che vuol dire il simbolo del prodotto tensore indicizzato da K?.... e quali regole algebriche hai usato per fare quegli isomorfismi?
Beh ho usato notazioni universalmente accettate. Il prodotto tensoriale degli $A$-moduli $M$ e $N$ si indica con $M otimes_A N$.
Le regole algebriche che ho usato sono fatti conosciuti: se $(M_i)_i$ è una famiglia di $A$-moduli e $N$ è un $A$-modulo allora
$(oplus_i M_i) otimes_A N cong oplus_i (M_i otimes_A N)$
tramite il morfismo che manda $(m_i)_i otimes n$ in $(m_i otimes n)_i$.
Se conosci il linguaggio delle categorie puoi anche vederla così: la somma diretta è il coprodotto nella categoria degli $A$-moduli, il coprodotto è un limite induttivo, e il prodotto tensoriale commuta coi limiti induttivi.
Non sono molto sicuro solo della seguente cosa che ho scritto:
"Martino":
$(K^{(I)})^{(J)} cong K^{(I times J)}$.
dunque devi dimostrare questo
$\prod_J K^J=\{\varphi:J ---->\bigcup_J K^I\ t.c. \varphi(j) : I--->K} \cong \{\varphi:I\times J--->\bigcup_{I\times J}K t.c \varphi : I \times J --->K \}=\prod_{I\times J} K$
va be prendi $ \varphi(i)(j)---->\varphi(i,j) $ dovrebbe essere l'isomorfismo giusto
$\prod_J K^J=\{\varphi:J ---->\bigcup_J K^I\ t.c. \varphi(j) : I--->K} \cong \{\varphi:I\times J--->\bigcup_{I\times J}K t.c \varphi : I \times J --->K \}=\prod_{I\times J} K$
va be prendi $ \varphi(i)(j)---->\varphi(i,j) $ dovrebbe essere l'isomorfismo giusto
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